浙江大学 2023年强基第22题

$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}$ ，解析；由三条直线之间的距离关系知，这三条直线共面，且 $l_{2}$ 位于 $l_{1}$ 与 $l_{3}$ 之间．过点 $A$ 作 $A O \perp l_{2}$ 于点 $O$ ．不妨设 $\overrightarrow{M N}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 同向．以点 $O$ 为原点， $\overrightarrow{M N}$ 方向为 $x$ 轴正方向， $\overrightarrow{O A}$ 方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系，则 $A=(0,1), B=(2,1)$ ．记 $M=(t, 0), N=(t+2,0), C=(t+1, y)$ ，则由 $|C A|=|C M|$ 知，$\sqrt{(t+1)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{1^{2}+y^{2}}$ ，即 $\displaystyle y=\frac{1}{2}(t+1)^{2}$ ，故点 $C$ 在拋物线 $\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2}$ 上．注意到 $\displaystyle l_{3}: y=-\frac{1}{2}$ 为该抛物线的准线，记该抛物线的焦点为 $\displaystyle F=\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $d=|C F|$ ．由于点 $F, B$ 位于抛 物线的两侧，则 $\displaystyle d+|B C|=|C F|+|B C| \geq|B F|=\frac{\sqrt{17}}{2}$ ，当且仅当 $\displaystyle C=\left(\frac{1+\sqrt{17}}{4}, \frac{9+\sqrt{17}}{16}\right)$ 时取等号．因此 $(d+|B C|)$ 的最小值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}$ 。