浙江大学 2022年强基第4题
📝 题目
$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}=4$ 或 5 ，问有 $X \in Z$ 的解吗？
💡 答案解析
【解析】整数的立方 mod 9 只能余 $0,1,-1$ ， 三个整数立方和 $\bmod 9$ 只能余 $0,1,2,3,-1,-2,-3$ ，原方程无解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析整数立方模9的余数
对于任意整数X，X mod 9可能为0,±1,±2,±3,±4，但立方后模9只可能为0,1,-1（即0,1,8）。
公式：X^3 ≡ 0, 1, -1 (mod 9)
提示：注意立方运算模9的周期性。
步骤 2/4
目标：确定三个整数立方和模9的可能余数
三个立方数模9各取0,1,-1，其和模9的可能值为：0,1,-1,2,-2,3,-3。即0,±1,±2,±3。
公式：X1^3+X2^3+X3^3 ≡ 0, ±1, ±2, ±3 (mod 9)
提示：枚举所有组合。
步骤 3/4
目标：检查方程右边模9的值
方程右边为4或5。4 mod 9 = 4，5 mod 9 = 5。4和5不在可能的余数集合{0,±1,±2,±3}中。
公式：4 ≡ 4 (mod 9), 5 ≡ 5 (mod 9)
提示：模9下4和5不在允许范围内。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于左边模9只能为0,±1,±2,±3，而右边模9为4或5，矛盾，故无整数解。
提示：无解。
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