浙江大学 2022年强基第6题
📝 题目
集合 $U=\{1,2,3, \ldots 2022\}$ $$ \begin{aligned} & A=\left\{a_{1}, a_{2} \ldots a_{2022}\right\} \\ & B=\left\{b_{1}, b_{2} \ldots b_{2022}\right\} \end{aligned} $$ 且 $A \subset \mathrm{U} \quad \mathrm{B} \subset \mathrm{U}$ 问 $\sum_{j-i=1}^{j, i=2022} a_{i} b_{j}$ 最小值除以 5 的余数（ ）。 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
💡 答案解析
【解析】 $\sum_{j\gt i} a_{i} b_{j}=\sum_{i=1}^{2022} a_{i} \cdot c_{i}$ ，其中 $c_{i}=\sum_{j\gt i} b_{j} \cdot c_{1}\gt c_{2}\gt \ldots \ldots\gt c_{2022}$ 由排序不等式，$\displaystyle \sum_{i=1}^{2022} a_{i} c_{i} \geq \sum_{i=1}^{2022} i c_{i}=\sum_{j=1}^{2022} \frac{j(j-1)}{2} b_{j} \geq \sum_{j=1}^{2022} \frac{j(j-1)}{2}(2023-j)$ 所求最小值 $\displaystyle M=\sum_{j=1}^{2022} \frac{j(j-1)(2023-j)}{2}$ $\displaystyle M \equiv \sum_{j=1}^{2022} \frac{j(j-1)(3-j)}{2} \equiv 1+404 \sum_{j=1}^{5} \frac{j(j-1)(3-j)}{2} \equiv 1(\bmod 5)$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将求和转化为排序不等式形式
将原式∑_{j>i} a_i b_j改写为∑_{i=1}^{2022} a_i c_i，其中c_i=∑_{j>i} b_j，且c_1>c_2>...>c_{2022}。
公式：∑_{j>i} a_i b_j = ∑_{i=1}^{2022} a_i c_i
提示：注意c_i是b_j从i+1到2022的和，单调递减。
步骤 2/6
目标：应用排序不等式得到下界
由排序不等式，∑ a_i c_i ≥ ∑ i c_i，因为a_i是1到2022的排列，最小化时a_i应从小到大与c_i从大到小对应，即a_i=i。
公式：∑_{i=1}^{2022} a_i c_i ≥ ∑_{i=1}^{2022} i c_i
提示：排序不等式：反序和最小。
步骤 3/6
目标：将c_i用b_j表示
c_i = ∑_{j>i} b_j，则∑ i c_i = ∑_{j=1}^{2022} (∑_{i
公式：∑_{i=1}^{2022} i c_i = ∑_{j=1}^{2022} [j(j-1)/2] b_j
提示：交换求和顺序，i从1到j-1。
步骤 4/6
目标：利用b_j的约束得到最小值
b_j是1到2022的排列，为使∑ [j(j-1)/2] b_j最小，b_j应从小到大与系数从大到小对应，即b_j=2023-j。
公式：M = ∑_{j=1}^{2022} [j(j-1)/2] (2023-j)
提示：系数j(j-1)/2随j增大而增大，所以b_j取递减序列。
步骤 5/6
目标：计算M模5的余数
M = ∑_{j=1}^{2022} j(j-1)(2023-j)/2。模5时，2023≡3，故M ≡ ∑ j(j-1)(3-j)/2 mod 5。由于周期为5，计算j=1到5的和，再乘以周期数404，加上剩余项。
公式：M ≡ ∑_{j=1}^{2022} j(j-1)(3-j)/2 (mod 5)
提示：注意j(j-1)(3-j)在j≥3时可能为负，但模5下可处理。
步骤 6/6
目标：计算具体数值并得余数
计算j=1到5：j=1:0; j=2:0; j=3:0; j=4:4; j=5:0。和=4。周期数404，404×4=1616≡1 mod 5。剩余j=2022? 2022≡2 mod 5，但2022项已包含在周期中？实际上2022=5×404+2，需加j=2021,2022。但j=2021≡1,2022≡2，对应值均为0。故M≡1 mod 5。
公式：M ≡ 1 (mod 5)
提示：注意周期计算要完整。
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