浙江大学 2022年强基第7题
📝 题目
$\mathrm{x}^{6}+(2 \mathrm{x}-1)^{6}=0$ ，有 6 个复根，$r_{1}, \overline{r_{1}}, r_{2}, \overline{r_{2}}, r_{3}, \overline{r_{3}}, r_{1}$ 与 $\overline{r_{2}}$ 共轭实数，问 $\displaystyle \frac{1}{r_{1} \overline{r_{1}}}+\frac{1}{r_{2} \overline{r_{2}}}+\frac{1}{r_{3} \overline{r_{3}}}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \left(2-\frac{1}{z}\right)^{6}=-1 \Leftrightarrow 2-\frac{1}{z}=e^{i \frac{2 k+1}{6}} \Leftrightarrow \frac{1}{z}=2-e^{i, \frac{2 k+1}{6}}(k=0,1,2,3,4,5)$ ， 按共轭对应编号，得 $$ \begin{aligned} & \frac{1}{z_{1}}=2-e^{i \frac{1}{6}}, \frac{1}{z_{1}}=2-e^{i \frac{11}{6}} \\ & \frac{1}{z_{2}}=2-e^{i \frac{3}{6}}, \frac{1}{z_{2}}=2-e^{i \frac{9}{6}} \\ & \frac{1}{z_{3}}=2-e^{i \frac{7}{6}}, \frac{1}{z_{1}}=2-e^{i \frac{5}{6}} \end{aligned} $$ 所以， $$ \begin{aligned} \frac{1}{z_{1}} \cdot \frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}} \cdot \frac{1}{z_{2}} & +\frac{1}{z_{3}} \cdot \frac{1}{z_{3}} \\ & =\left(2-e^{i \cdot \frac{1}{6}}\right)\left(2-e^{i \cdot \frac{11}{6}}\right)+\left(2-e^{i \cdot \frac{3}{6}}\right)\left(2-e^{i \cdot \frac{9}{6}}\right)+\left(2-e^{i \cdot \frac{7}{6}}\right)\left(2-e^{i \cdot \frac{5}{6}}\right) \\ & =12+3-2\left(e^{i \cdot \frac{1}{6}}+e^{i \cdot \frac{11}{6}}+e^{i \cdot \frac{3}{6}}+e^{i \cdot \frac{9}{6}}+e^{i \cdot \frac{7}{6}}+e^{i \cdot \frac{5}{6}}\right)=15 \end{aligned}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程变形为关于1/z的形式
原方程x^6+(2x-1)^6=0，两边除以x^6得1+(2-1/x)^6=0，即(2-1/x)^6=-1。
公式：(2-1/x)^6=-1
提示：注意x≠0，因为0不是根。
步骤 2/5
目标：解出1/z的表达式
由(2-1/z)^6=-1得2-1/z=e^{i(2k+1)π/6}，k=0,1,...,5，所以1/z=2-e^{i(2k+1)π/6}。
公式：1/z=2-e^{i(2k+1)π/6}
提示：利用复数单位根，-1的6次方根为e^{i(2k+1)π/6}。
步骤 3/5
目标：按共轭对应编号根
共轭根对应k和5-k，令k=0,1,2对应三个根及其共轭：k=0:1/z1=2-e^{iπ/6}, 1/z1共轭=2-e^{i11π/6}；k=1:1/z2=2-e^{i3π/6}, 共轭=2-e^{i9π/6}；k=2:1/z3=2-e^{i5π/6}, 共轭=2-e^{i7π/6}。
公式：1/z_k=2-e^{i(2k+1)π/6}
提示：注意共轭对应k和5-k。
步骤 4/5
目标：计算目标表达式
目标为1/(r1 r1共轭)+1/(r2 r2共轭)+1/(r3 r3共轭)=|1/z1|^2+|1/z2|^2+|1/z3|^2。计算每个模平方：|2-e^{iθ}|^2=5-4cosθ。
公式：|2-e^{iθ}|^2=5-4cosθ
提示：利用复数模平方公式。
步骤 5/5
目标：代入角度求和
θ分别为π/6, 3π/6=π/2, 5π/6。cos(π/6)=√3/2, cos(π/2)=0, cos(5π/6)=-√3/2。所以和为(5-4*√3/2)+(5-0)+(5-4*(-√3/2))=(5-2√3)+5+(5+2√3)=15。
公式：∑(5-4cosθ)=15
提示：注意cos(π/6)和cos(5π/6)互为相反数。
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