浙江大学 2022年强基第8题
📝 题目
$\vec{m}=(\cos \theta, \sin \theta), \vec{n}=(\sqrt{2}-\sin \theta, \cos \theta)$ ，则 $\displaystyle |\vec{m}+\vec{n}|=\frac{8 \sqrt{2}}{5}$ ，则 $\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{8}+\frac{\theta}{2}\right)=$ ？
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \frac{128}{25}=|\vec{m}+\vec{n}|^{2}=(\sqrt{2}-\sin \theta+\cos \theta)^{2}+(\sin \theta+\cos \theta)^{2}$ $$ \begin{aligned} & =2-2 \sqrt{2} \sin \theta+2 \sqrt{2} \cos \theta+2=4+4 \cos \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) \\ & \Rightarrow \cos \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{7}{25} \Rightarrow \cos \left(\frac{\pi}{8}+\frac{\theta}{2}\right)= \pm \frac{4}{5} \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算向量模的平方
由向量模公式，|m+n|^2 = (cosθ + √2 - sinθ)^2 + (sinθ + cosθ)^2。
公式：|a+b|^2 = (a_x+b_x)^2 + (a_y+b_y)^2
提示：注意向量加法对应坐标相加。
步骤 2/5
目标：展开并化简表达式
展开得 (√2 - sinθ + cosθ)^2 + (sinθ + cosθ)^2 = 2 - 2√2 sinθ + 2√2 cosθ + 2 = 4 + 2√2(cosθ - sinθ)。
公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
提示：合并同类项，注意cosθ - sinθ可化为√2 cos(θ+π/4)。
步骤 3/5
目标：利用三角恒等式化简
2√2(cosθ - sinθ) = 4 cos(θ+π/4)，所以 |m+n|^2 = 4 + 4 cos(θ+π/4)。
公式：cosθ - sinθ = √2 cos(θ+π/4)
提示：辅助角公式：a cosθ + b sinθ = √(a^2+b^2) cos(θ-φ)。
步骤 4/5
目标：代入已知条件求解cos(θ+π/4)
已知|m+n| = 8√2/5，平方得128/25，所以4 + 4 cos(θ+π/4) = 128/25，解得cos(θ+π/4) = 7/25。
公式：cos(θ+π/4) = (|m+n|^2 - 4)/4
提示：注意计算准确性。
步骤 5/5
目标：利用半角公式求目标值
cos(π/8 + θ/2) = ±√[(1+cos(θ+π/4))/2] = ±√[(1+7/25)/2] = ±√(16/25) = ±4/5。
公式：cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]
提示：半角公式符号由π/8+θ/2所在象限决定。
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