浙江大学 2022年强基第9题
📝 题目
若 $\displaystyle f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\lt \frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$ ，则以下说法正确的是 。 A．周期函数 B．有界函数 C．单调函数 D．可能在 $(1,2)$ 单增，$(2,3)$ 单减
💡 答案解析
$f(x)=x^{2}$ 时， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 均不满足， D 也不满足：由条件 $\displaystyle 2 f\left(\frac{7}{4}\right)\lt f\left(\frac{5}{4}\right)+f\left(\frac{9}{4}\right)$ ， $\displaystyle 2 f\left(\frac{9}{4}\right)\lt f\left(\frac{7}{4}\right)+f\left(\frac{11}{4}\right)$ 相加：$\displaystyle f\left(\frac{7}{4}\right)+f\left(\frac{9}{4}\right)\lt f\left(\frac{5}{4}\right)+f\left(\frac{11}{4}\right)$ ，不可能在 $(1,2)$ 上单增，$(2,3)$ 上递减。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件
条件 f((x1+x2)/2) < (f(x1)+f(x2))/2 表示函数是严格凸函数（下凸）。
公式：f((x1+x2)/2) < (f(x1)+f(x2))/2
提示：凸函数性质：中点函数值小于两端平均值。
步骤 2/6
目标：分析选项A：周期函数
凸函数通常不是周期函数，例如f(x)=x^2是凸函数但非周期。反例存在，故A错误。
提示：周期函数需满足f(x+T)=f(x)，凸函数一般不具有周期性。
步骤 3/6
目标：分析选项B：有界函数
凸函数在定义域无界时通常无界，如f(x)=x^2在R上无上界。反例存在，故B错误。
提示：有界性需上下界均存在，凸函数可能无界。
步骤 4/6
目标：分析选项C：单调函数
凸函数不一定单调，如f(x)=x^2在(-∞,0)递减，(0,∞)递增。反例存在，故C错误。
提示：单调性要求函数在整个定义域上单调，凸函数可能先减后增。
步骤 5/6
目标：分析选项D：可能在(1,2)单增，(2,3)单减
假设在(1,2)单增，(2,3)单减，取x1=5/4, x2=9/4，中点7/4，由凸性得不等式，再取x1=7/4, x2=11/4，中点9/4，得另一不等式，相加推出矛盾，故D错误。
公式：2f(7/4) < f(5/4)+f(9/4); 2f(9/4) < f(7/4)+f(11/4); 相加得 f(7/4)+f(9/4) < f(5/4)+f(11/4)
提示：利用凸性构造两个不等式并相加，得到与单调性假设矛盾的结果。
步骤 6/6
目标：得出结论
所有选项均不正确，但题目为单选题，可能答案有误或需重新审视。根据常见题型，正确选项应为D，但推导显示D也不成立。
提示：注意题目可能要求选择正确说法，但此处所有选项均错误。
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