浙江大学 2022年强基第10题
📝 题目
$\left|\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}\right|=\left|\mathrm{x}_{\mathrm{n}}+1\right|$ ，则 $\mathrm{x}_{0}=0$ ，问 $\left|\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\ldots+\mathrm{x}_{125}\right| \min =$ 。 A． 8 B． 9 C． 5 D． 13
💡 答案解析
【解析】由条件易知 $x_{2 k}$ 是偶数，$x_{2 k+1}$ 是奇数。 $x_{n+1}^{2}=x_{n}^{2}+2 x_{n}+1$ ，对 $\mathrm{n}=0,1, \ldots, 125$ 求和知：$\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{125}=\frac{x_{126}^{2}-126}{2}$ ． 距 126 最近的两个偶数平方是 100 与 $\displaystyle 144, \Rightarrow\left|x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{125}\right| \geq \frac{144-126}{2}=9$ ． 构造 $x_{\mathrm{n}}=\left\{\begin{array}{cc}0, & n \text { 偶且 } n \leq 114 \\ -1 & n \text { 奇且 } n \leq 113 \\ n-114 & n \geq 115\end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析递推关系，确定奇偶性
由 |x_{n+1}| = |x_n + 1| 和 x_0=0，归纳可得 x_{2k} 为偶数，x_{2k+1} 为奇数。
公式：|x_{n+1}| = |x_n + 1|
提示：注意绝对值，但奇偶性不受影响。
步骤 2/4
目标：平方后求和，化简表达式
将递推式两边平方得 x_{n+1}^2 = x_n^2 + 2x_n + 1，对 n=0 到 125 求和，利用裂项得 x_1+...+x_125 = (x_126^2 - 126)/2。
公式：x_{n+1}^2 = x_n^2 + 2x_n + 1
提示：求和时注意 x_0=0。
步骤 3/4
目标：确定 x_126 的奇偶性并估计最小值
由奇偶性知 x_126 为偶数，且 |x_126| 最小为 12（因为 10^2=100<126<144=12^2），代入得 |和|≥(144-126)/2=9。
公式：|x_1+...+x_125| = |x_126^2 - 126|/2
提示：选择最接近 126 的偶数平方。
步骤 4/4
目标：构造数列验证最小值可达
构造：当 n≤114 且 n 偶时 x_n=0，n≤113 且 n 奇时 x_n=-1；当 n≥115 时 x_n=n-114。验证满足递推且 x_126=12，和=9。
提示：注意分段构造要满足递推关系。
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