浙江大学 2021年强基第1题
📝 题目
$|x|+|y|+|x-y| \leq 2$ 围城的区域面积是 。 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
💡 答案解析
解：$x\gt 0, y\gt 0, x\gt y$ 时为 $\mathrm{x} \leq 1$ 由对称性，总面积为 $\displaystyle 8 \times \frac{1}{2}=4$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析不等式在不同象限和区域内的形式
考虑第一象限，分情况去掉绝对值：当x≥0, y≥0, x≥y时，|x|=x, |y|=y, |x-y|=x-y，不等式化为x+y+(x-y)=2x≤2，即x≤1。
公式：|a| = a (a≥0), |a| = -a (a<0)
提示：利用对称性简化问题，先分析一个区域再推广。
步骤 2/4
目标：确定第一象限内满足条件的区域
在x≥0, y≥0, x≥y条件下，x≤1，且y≤x，区域为三角形：顶点(0,0), (1,0), (1,1)，面积为1/2。
公式：三角形面积 = 1/2 * 底 * 高
提示：注意边界条件y≤x和x≤1。
步骤 3/4
目标：利用对称性扩展到整个平面
不等式关于x轴、y轴和直线y=x对称，因此整个区域由8个全等的三角形组成，每个面积为1/2。
公式：对称性：若f(x,y)=f(-x,y)=f(x,-y)=f(y,x)，则区域对称
提示：检查对称性：|x|,|y|,|x-y|都是偶函数且交换x,y不变。
步骤 4/4
目标：计算总面积
总面积 = 8 × (1/2) = 4。
公式：总面积 = 对称区域个数 × 单个区域面积
提示：注意不要遗漏或重复计算区域。
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