浙江大学 2021年强基第3题
📝 题目
$z$ 为复数，$f(z)=|z|+|z-3-4 i|+|z-2|+|z-2-4 i|$ ，则 $f(z)$ 最小值是 ，
💡 答案解析
解：记 $A(0,0), B(2,0), C(2,4), D(3,4), 0$ 为 $A D$ 和 $B C$ 交点，则 $f(z)$ 为平面上一点 p 到 $A B C D$ 四点距离之和， $P A+P D \geq O A+O D=5, P B+P C \geq O B+O C=4$ 故 $P=O$ 时候 $(z)$ 最小为 9 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将复数问题转化为几何问题
设复数z对应复平面上的点P(x,y)，则|z|表示P到原点A(0,0)的距离，|z-3-4i|表示P到点D(3,4)的距离，|z-2|表示P到点B(2,0)的距离，|z-2-4i|表示P到点C(2,4)的距离。因此f(z)是P到A、B、C、D四点距离之和。
公式：|z - z0| = 点P到点Z0的距离
提示：将复数模转化为两点间距离
步骤 2/6
目标：确定四点坐标
A(0,0), B(2,0), C(2,4), D(3,4)。注意D点坐标是(3,4)而非(3,4i)。
提示：正确写出各点坐标
步骤 3/6
目标：利用三角形不等式求最小值
对于任意点P，有PA+PD ≥ AD，当P在线段AD上时取等。同理PB+PC ≥ BC，当P在线段BC上时取等。AD和BC的交点O即为同时取等点。
公式：PA+PD ≥ AD, PB+PC ≥ BC
提示：三角形不等式取等条件为三点共线且中间点在两端点之间
步骤 4/6
目标：计算AD和BC的长度
AD = √[(3-0)²+(4-0)²] = 5，BC = √[(2-2)²+(4-0)²] = 4。
公式：距离公式
步骤 5/6
目标：求交点O坐标
AD方程：y=(4/3)x，BC方程：x=2。联立得O(2, 8/3)。
提示：交点满足同时在线段AD和BC上
步骤 6/6
目标：计算最小值
当P=O时，PA+PD=AD=5，PB+PC=BC=4，所以f(z)最小值为5+4=9。
公式：f(z) = (PA+PD) + (PB+PC) ≥ AD + BC = 5+4 = 9
提示：最小值在交点处取得
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