浙江大学 2021年强基第4题
📝 题目
有一个根为 $\sqrt{2}+i$ 的整系数方程至少为几次 。 A． 8 B． 4 C． 3 D． 2
💡 答案解析
解：四次 $(x-\sqrt{2}-i)(x+\sqrt{2}+i)=x^{2}-1+2 \sqrt{2} i$ 所以 $\left(x^{2}-1+2 \sqrt{2} i\right)\left(x^{2}-1-2 \sqrt{2} i\right)$ 为四次整系 数而且一个根为 $\sqrt{2}+i$ 的整系数方程。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定根及其共轭形式
已知根为√2+i，其共轭√2-i也是根，但整系数方程还需考虑其他共轭对。
提示：注意虚部和根号同时存在时，需同时取共轭和根号共轭。
步骤 2/5
目标：构造二次因式
构造因式(x-√2-i)(x+√2+i)=x²-1+2√2 i，该因式系数含无理数，不是整系数。
公式：(x-√2-i)(x+√2+i)=x²-1+2√2 i
提示：该二次式系数含√2，不是整系数。
步骤 3/5
目标：构造共轭二次因式
取上式的共轭：x²-1-2√2 i，两者相乘可消去虚部和根号。
公式：(x²-1+2√2 i)(x²-1-2√2 i)
提示：相乘后得到整系数四次多项式。
步骤 4/5
目标：计算乘积得整系数方程
计算乘积：(x²-1)² - (2√2 i)² = x⁴ - 2x² + 1 + 8 = x⁴ - 2x² + 9。
公式：(x²-1)² - (2√2 i)² = x⁴ - 2x² + 9
提示：结果系数均为整数，且根√2+i满足方程。
步骤 5/5
目标：判断最低次数
由于√2+i不是二次整系数方程的根（二次方程根为有理数或纯虚数形式），最低次数为4。
提示：选项B正确。
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