浙江大学 2021年强基第5题
📝 题目
$Z_{n+2}=5 Z_{n+1}-6 Z_{n}, Z_{0}=0, Z_{\mathrm{j}}=1$ 则 $Z_{2021}$ 被 4 整除后的余数是 。 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
💡 答案解析
解：该数列模 4 余数为 $0,1,1,3,1,3,1 \cdots$ ，所以 $Z_{2021}$ 被 4 整除的余数为 3 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立递推关系
给定递推式 Z_{n+2}=5Z_{n+1}-6Z_n，初始条件 Z_0=0，Z_1=1。
公式：Z_{n+2}=5Z_{n+1}-6Z_n
提示：注意初始条件
步骤 2/7
目标：计算模4下的前几项
计算模4：Z_0=0，Z_1=1，Z_2=5*1-6*0=5≡1 mod 4，Z_3=5*1-6*1=-1≡3 mod 4，Z_4=5*3-6*1=9≡1 mod 4，Z_5=5*1-6*3=-13≡3 mod 4，Z_6=5*3-6*1=9≡1 mod 4。
公式：模运算
提示：逐步计算，注意负数取模
步骤 3/7
目标：观察周期规律
从Z_1开始：1,1,3,1,3,1,... 可见从n=1起，奇数项为1，偶数项为3（n≥1）。验证：Z_1=1，Z_2=1，Z_3=3，Z_4=1，Z_5=3，Z_6=1。
公式：周期为2
提示：注意n=0是特例
步骤 4/7
目标：确定Z_{2021}的奇偶性
2021是奇数，且n≥1时奇数项模4为1，但需验证n=1对应奇数项。由于2021≥1，故Z_{2021}模4等于1？但答案给出3，需重新检查。
公式：奇偶对应
提示：小心n=0的特殊性
步骤 5/7
目标：重新计算并纠正
重新计算：Z_0=0，Z_1=1，Z_2=1，Z_3=3，Z_4=1，Z_5=3，Z_6=1，Z_7=3，... 从n=1开始，奇数项n=1,3,5,...对应1,3,1,3? 实际上n=1:1，n=3:3，n=5:3? 再算Z_5: 5*3-6*1=9≡1? 之前算错。正确：Z_3=3，Z_4=5*3-6*1=9≡1，Z_5=5*1-6*3=-13≡3，Z_6=5*3-6*1=9≡1，所以奇数项n=1,3,5,...为1,3,3? 不一致。
公式：递推计算
提示：仔细计算每一步
步骤 6/7
目标：发现周期为2但起始不同
从n=2开始：Z_2=1，Z_3=3，Z_4=1，Z_5=3，... 即n≥2时，偶数项为1，奇数项为3。2021是奇数且≥3，所以Z_{2021}≡3 mod 4。
公式：周期2
提示：注意n=1是例外
步骤 7/7
目标：得出余数
因此Z_{2021}被4整除的余数为3，对应选项D。
公式：模4余数
提示：最终答案
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