浙江大学 2021年强基第6题
📝 题目
$\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=0.5, a_{n+2}=\frac{5}{2} a_{n+1}-a_{n}, b_{0}=1.01, b_{1}=0.52, b_{n+2}=\frac{5}{2} b_{n+1}-b_{n}$ ，则 $\left|b_{10}-a_{10}\right|$ 最接近下 列哪个数 。 A． 10 B． 3 C． 1 D． 0
💡 答案解析
解：$\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=\frac{1}{2}, \cdots, a_{10}=\frac{1}{2^{10}}$ 解方程 $\displaystyle x^{2}=\frac{5}{2} x-1$ ，得 $x=2$ 或 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 故 $\displaystyle b_{n}=A 2^{n}+B \frac{1^{n}}{2}$ ，将 $b_{0}, b_{1}$ 代入，解得 $\displaystyle b_{n}=0.01 \times 2^{n}+\frac{1^{n}}{2}, b_{10}=10.24+\frac{1}{2^{10}}$ ，故选A。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解数列{a_n}的通项公式
由递推关系a_{n+2}=2.5a_{n+1}-a_n，特征方程x^2=2.5x-1，解得x=2或0.5。代入初始条件a_0=1, a_1=0.5，得a_n=(0.5)^n，故a_10=1/2^10。
公式：a_n = (1/2)^n
提示：注意特征根为2和1/2，但初始条件使2的系数为0。
步骤 2/4
目标：求解数列{b_n}的通项公式
特征根相同，设b_n=A·2^n + B·(1/2)^n。代入b_0=1.01, b_1=0.52，得A+B=1.01，2A+0.5B=0.52。解得A=0.01, B=1，故b_n=0.01·2^n + (1/2)^n。
公式：b_n = 0.01·2^n + (1/2)^n
提示：解方程组时注意小数运算。
步骤 3/4
目标：计算b_10和a_10的差值
b_10 = 0.01·2^10 + (1/2)^10 = 0.01·1024 + 1/1024 = 10.24 + 1/1024，a_10 = 1/1024，故|b_10 - a_10| = 10.24。
公式：|b_10 - a_10| = 10.24
提示：2^10=1024，1/1024≈0.00098。
步骤 4/4
目标：比较选项并选择最接近的数
10.24最接近10，故选A。
提示：选项A为10，B为3，C为1，D为0。
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