浙江大学 2021年强基第8题
📝 题目
$w$ 是 $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ 的一个根，则 $\left(w^{4}-w^{3}+w^{2}+w+1\right)\left(w^{4}+w^{3}-w^{2}+w+1\right)$ 可能的值是 。 A． 4 B． 2 C． 1 D． 0
💡 答案解析
解：$w$ 是 $\displaystyle \frac{x^{5}-1}{x-1}=0$ 的一个根，故 $w^{5}=1$ ，故 $\left(w^{4}-w^{3}+w^{2}+w+1\right)\left(w^{4}+w^{3}-w^{2}+w+1\right)=\left(w^{4}-w^{3}+w^{2}+w+w^{5}\right)\left(w^{4}+w^{3}-w^{2}+w+1\right)$ $=\mathrm{w}\left(w^{4}+w^{3}-w^{2}+w+1\right)^{2}$ $=w\left(-2 w^{2}\right)^{2}=4 w^{5}=4$ 故只有一个值，选 A。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用方程变形得到w^5=1
由x^4+x^3+x^2+x+1=0，两边乘以(x-1)得x^5-1=0，故w^5=1。
公式：x^5-1=0
提示：注意x≠1，但w不是1。
步骤 2/6
目标：将第一个括号中的1替换为w^5
因为w^5=1，所以w^4-w^3+w^2+w+1 = w^4-w^3+w^2+w+w^5。
公式：w^5=1
提示：替换后便于提取公因式。
步骤 3/6
目标：提取公因式w
w^4-w^3+w^2+w+w^5 = w(w^3-w^2+w+1+w^4) = w(w^4+w^3-w^2+w+1)。
提示：注意括号内顺序调整。
步骤 4/6
目标：将原表达式化为乘积形式
原式 = [w(w^4+w^3-w^2+w+1)] * (w^4+w^3-w^2+w+1) = w (w^4+w^3-w^2+w+1)^2。
提示：两个括号相同。
步骤 5/6
目标：利用w^5=1化简括号内表达式
由w^4+w^3+w^2+w+1=0，得w^4+w^3-w^2+w+1 = -2w^2。
公式：w^4+w^3+w^2+w+1=0
提示：移项得-w^2 = w^4+w^3+w+1。
步骤 6/6
目标：计算最终结果
原式 = w * (-2w^2)^2 = w * 4w^4 = 4w^5 = 4*1 = 4。
公式：w^5=1
提示：注意平方运算。
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