浙江大学 2021年强基第9题

由于a_i^2=1，原式∑_{i+j} a_i^2 a_j可简化为∑_{i+j} a_j，但注意i+j表示所有有序对(i,j)？实际上题目中∑_{i+j}可能表示下标和，但更常见的是∑_{i≠j}或∑_{i,j}。根据答案，理解为∑_{i≠j} a_i^2 a_j = ∑_{i≠j} a_j。

原式应为∑_{i≠j} a_i^2 a_j = ∑_{i≠j} a_j。对于固定的j，a_j出现的次数为2020次（i取除j外的所有值），所以总和=2020∑_{j=1}^{2021} a_j。

要使总和最小，需使∑a_j最小。a_j取1或-1，总和最小为-2021（全部取-1）。但注意题目中a_i^2 a_j，若a_i=-1，a_i^2=1，不影响。所以最小值=2020×(-2021) = -2020×2021。

2020×2021 = 2020×2000 + 2020×21 = 4,040,000 + 42,420 = 4,082,420，所以最小值为-4,082,420。但选项为0,1,2022,2020，显然不匹配。可能题目中∑_{i+j}表示下标和为定值？需重新审视。

题目中∑_{i+j}可能表示对所有满足i+j为某值的项求和？但未给出具体值。常见题型：∑_{i+j=常数} a_i^2 a_j。但这里没有常数，可能印刷错误。根据答案，最小值是-2020×2021，但选项是0,1,2022,2020，矛盾。可能题目是求∑_{i=1}^{2021} a_i^2 a_{i+1}之类？

选项A:0, B:1, C:2022, D:2020。若所有a_i=1，则∑_{i≠j} a_j = 2020×2021，为正数。若所有a_i=-1，则∑_{i≠j} a_j = -2020×2021，为负数。最小值应为负数，但选项无负数，说明求和可能不是i≠j。可能求和是∑_{i+j}表示i和j的乘积？即∑ a_i^2 a_j？但i+j无意义。

可能题目是∑_{i=1}^{2021} a_i^2 a_{i+1}（循环），但未说明。另一种可能：∑_{i+j}表示对所有i,j求和，但i+j作为下标？不。常见强基题：求∑_{i=1}^{n} a_i^2 a_{i+1}的最小值，其中a_{n+1}=a_1。此时若所有a_i=-1，则每项为1×(-1)=-1，总和为-2021，但选项无。若所有a_i=1，总和为2021。选项有2022和2020，接近。

根据答案，最小值是-2020×2021，但选项不匹配，可能题目有误。若按选项，最小值可能是0（当正负各半时）。但答案给出的是-2020×2021，所以选择无。作为解题步骤，我们按答案逻辑输出。