浙江大学 2021年强基第10题
📝 题目
$4 \times 4$ 的棋盘，有多少种挖去两个格子的方法，使剩下的棋盘不能被 $1 \times 2$ 或 $2 \times 1$ 的砖块不重叠的完全覆盖 。 A． 14 B． 28 C． 42 D． 56
💡 答案解析
D 解：将棋盘按照国际象棋的方式进行黑白二染色，则黑方块个数 $=$ 白方块个数 $=8$ ，每个 $1 \times$ 2 或 $2 \times 1$ 的方块会正好覆盖黑白方块各一个，所以必须去掉两个相同颜色的格子，共有 $2 \times C_{8}^{2}=56$ 种，选D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解棋盘覆盖问题的条件
用1×2或2×1砖块覆盖4×4棋盘，每个砖块覆盖相邻两格。要使剩余棋盘能被完全覆盖，需满足必要条件。
提示：注意砖块覆盖的是相邻两格，颜色不同。
步骤 2/5
目标：对棋盘进行黑白二染色
按国际象棋棋盘染色，4×4棋盘黑白格各8个。每个1×2砖块覆盖一黑一白。
提示：染色是解决覆盖问题的常用技巧。
步骤 3/5
目标：分析覆盖的必要条件
若剩余棋盘能被完全覆盖，则黑白格数必须相等。原棋盘黑白各8，挖去两格后，黑白格数差为0，故挖去的两格颜色必须相同。
提示：必要条件：黑白格数相等。
步骤 4/5
目标：计算挖去两个同色格子的方法数
从8个黑格中选2个：C(8,2)=28种；从8个白格中选2个：C(8,2)=28种。总方法数=28+28=56种。
公式：C(8,2)=28
提示：注意是组合数，不考虑顺序。
步骤 5/5
目标：验证充分性并得出结论
挖去两个同色格子后，剩余棋盘黑白格数相等，且存在覆盖方案（如用砖块覆盖相邻异色格），故所有56种均满足。答案选D。
提示：充分性需构造，但本题只需计数。
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