浙江大学 2021年强基第11题
📝 题目
将 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ 分割成元素数量相同的 2 个集合 $A B$ ，设 $S(A)$ 为集合 $A$ 内元素总和，$S$ （B）同理，对于不同的分割方法，$\sum_{x \in B}[x-S(A)]^{2}+\sum_{y \in A}[y-S(B)]^{2}$ 的最大值与最小值之差为（ ）。
💡 答案解析
解：记 $$ \begin{aligned} & S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \\ & \sum_{x \in B}(x-S(A))^{2}+\sum_{y \in A}(y-S(B))^{2}=\sum_{x \in B} x^{2}+5 S^{2}(A)-2 S(A) S(B)+\sum_{y \in A} y^{2}+5 S^{2}(B)-2 S(B) S(A) \\ & =\sum_{x \in S} x^{2}+5 S^{2}(A)-4 S(A) S(B)+5 S^{2}(B) \\ & =385+7\left(S^{2}(A)+S^{2}(B)\right)-2(S(A)+S(B))^{2} \\ & =7\left(S^{2}(A)+S^{2}(B)\right)-5665 \end{aligned} $$ 由于 $S(A)+S(B)=55$ ，所以 $A=\{1,2,3,4,5\}$ 时最大为 $7110, A=\{1,3,5,8,10\}$ 时最小为 4730 ，差为 2380 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将原式展开并化简
将原式展开，利用S(A)+S(B)=55，合并同类项，得到表达式7(S^2(A)+S^2(B))-5665。
公式：∑_{x∈B}(x-S(A))^2+∑_{y∈A}(y-S(B))^2 = 7(S^2(A)+S^2(B))-5665
提示：注意S(A)+S(B)=55，以及∑x^2=385。
步骤 2/6
目标：确定S^2(A)+S^2(B)的取值范围
由于S(A)+S(B)=55，S^2(A)+S^2(B)在S(A)和S(B)相差最大时最大，相差最小时最小。A和B各有5个元素，总和55。
公式：S^2(A)+S^2(B) = (S(A)-S(B))^2/2 + 55^2/2
提示：利用平方和公式转化为差平方。
步骤 3/6
目标：求最大值对应的A
S(A)与S(B)相差最大时，S(A)最小或最大。最小S(A)为1+2+3+4+5=15，此时S(B)=40，差25。
公式：S(A)=15, S(B)=40
提示：取最小5个数。
步骤 4/6
目标：求最小值对应的A
S(A)与S(B)相差最小时，S(A)接近27.5。尝试构造，如A={1,3,5,8,10}，S(A)=27，S(B)=28，差1。
公式：S(A)=27, S(B)=28
提示：尽量使两集合和接近。
步骤 5/6
目标：计算最大值和最小值
最大值：S(A)=15时，S^2(A)+S^2(B)=225+1600=1825，代入得7*1825-5665=7110。最小值：S(A)=27时，S^2(A)+S^2(B)=729+784=1513，代入得7*1513-5665=4730。
公式：最大值7110，最小值4730
提示：注意计算准确。
步骤 6/6
目标：求差值
最大值与最小值之差为7110-4730=2380。
公式：差值=2380
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