浙江大学 2021年强基第12题
📝 题目
使 $\sqrt{n}$ 和 $\sqrt{n+18}$ 都是有理数的整数 n 的个数为 。 A． 0 B． 4 C． 5 D． 6
💡 答案解析
A 解：$n$ 和 $n+18$ 必须均为完全平方数，由于完全平方数模 4 为 0 或 1 ，所以不存在 $n$ ．选 $A$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，将问题转化为数学条件
要使√n和√(n+18)都是有理数，则n和n+18必须都是完全平方数。设n=a²，n+18=b²，其中a,b为非负整数。
公式：n=a², n+18=b²
提示：有理数开方为整数当且仅当被开方数为完全平方数。
步骤 2/6
目标：建立方程并化简
由n=a²和n+18=b²相减得b²-a²=18，即(b-a)(b+a)=18。
公式：b²-a²=18
提示：平方差公式。
步骤 3/6
目标：分析整数解的可能性
b-a和b+a同奇偶，且乘积为18，因此可能组合有(1,18)、(2,9)、(3,6)及其负因子，但b+a>b-a>0，故只考虑正因子。
提示：注意b+a和b-a同奇偶。
步骤 4/6
目标：枚举所有可能的因子对
可能的正因子对：(1,18)、(2,9)、(3,6)。检查奇偶性：(1,18)一奇一偶，排除；(2,9)一偶一奇，排除；(3,6)一奇一偶，排除。无满足条件的解。
提示：同奇偶要求两个因子均为奇数或均为偶数。
步骤 5/6
目标：考虑负因子情况
若考虑负因子，b-a和b+a均为负，但b+a>0，故无解。因此无整数a,b满足条件。
提示：b+a为正数。
步骤 6/6
目标：得出结论
不存在整数n使得√n和√(n+18)均为有理数，故个数为0，选A。
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