西安交通大学 2023年强基第1题
📝 题目
设 $z$ 为虚数，$|z|=1$ ，则 $\displaystyle z+\frac{1}{z}-\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^{2}$ 的 。 A．最小值为 -1 B．最小值为 1 C．最大值为 -1 D．最大值为 1
💡 答案解析
$B$ 解析：记 $z=e^{i \theta}$ ，则 $$ \begin{aligned} z+\frac{1}{z}-\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^{2} & =e^{i \theta}+e^{-i \theta}-\left(\frac{1-e^{i \theta}}{1+e^{i \theta}}\right)^{2}=2 \cos \theta-\left(\frac{\left(1-e^{i \theta}\right)\left(1+e^{-i \theta}\right)}{\left(1+e^{i \theta}\right)\left(1+e^{-i \theta}\right)}\right)^{2} \\ = & 2 \cos \theta-\left(\frac{-2 i \sin \theta}{2+2 \cos \theta}\right)^{2}=2 \cos \theta+\frac{\sin ^{2} \theta}{(1+\cos \theta)^{2}} \\ = & 2 \cos \theta+\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}=2(1+\cos \theta)+\frac{2}{1+\cos \theta}-3 \end{aligned} $$ 记 $t=1+\cos \theta \in(0,2)$ ，则原式 $\displaystyle =2\left(t+\frac{1}{t}\right)-3 \geq 2 \times 2 \sqrt{t \cdot \frac{1}{t}}-3=1$ ，且等号取到当且仅当 $t=1$ ，即 $\displaystyle \theta= \pm \frac{\pi}{2}$ ．另一方面，当 $t \rightarrow 0^{+}$时，原式 →＋$\infty$ ．因此原式的最小值为 1 ，无最大值，选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设复数z的三角形式
由于|z|=1且z为虚数，设z=e^{iθ}，其中θ≠kπ。
公式：z = e^{iθ}
提示：虚数意味着sinθ≠0。
步骤 2/5
目标：代入表达式并化简
将z=e^{iθ}代入，得z+1/z = 2cosθ，并化简(1-z)/(1+z)部分。
公式：z+1/z = 2cosθ
提示：利用欧拉公式。
步骤 3/5
目标：化简(1-z)/(1+z)的平方
计算(1-e^{iθ})/(1+e^{iθ})，分子分母同乘(1+e^{-iθ})，得(-2i sinθ)/(2+2cosθ) = -i tan(θ/2)。平方得 -tan²(θ/2)。
公式：((1-e^{iθ})/(1+e^{iθ}))² = -tan²(θ/2)
提示：注意负号。
步骤 4/5
目标：得到表达式关于cosθ
原式=2cosθ + tan²(θ/2) = 2cosθ + (1-cosθ)/(1+cosθ)。
公式：tan²(θ/2) = (1-cosθ)/(1+cosθ)
提示：半角公式。
步骤 5/5
目标：换元并求最值
令t=1+cosθ∈(0,2)，则原式=2(t-1) + (2-t)/t = 2t + 2/t -3。由均值不等式，2t+2/t ≥ 4，当t=1时取等，故最小值为1。
公式：2t+2/t ≥ 4
提示：t=1对应cosθ=0，z=±i，虚数成立。
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