西安交通大学 2023年强基第2题
📝 题目
设棱长为 $a$ 的正方体中有两个球，两球均与正方体三个面相切，且这两个球外切，求两球半径之和 ）。 A．不能确定 B．$\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2} a$ C．$\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{3} a$ D．$\sqrt{2} a$
💡 答案解析
$A$ 解析：考虑一个球相切于前、左、下面，另一个球相切于前、右、下面。设它们的半径分别为 $R, r$ ，则由勾股定理知，$(a-(R+r))^{2}+(R-r)^{2}=(R+r)^{2}$ ，即 $(a-(R+r))^{2}=4 R r$ ．于是两球半径只需满足上述关系即可，故两球半径之和不能确定。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立空间坐标系，确定两球位置
设正方体棱长为a，建立坐标系，使三个面为坐标平面。一个球与左、前、下面相切，球心为(R,R,R)；另一个球与右、前、下面相切，球心为(a-r, r, r)。
提示：注意球心到相切面的距离等于半径。
步骤 2/6
目标：写出两球心距离公式
两球心距离为√[(a-R-r)^2 + (R-r)^2 + (R-r)^2] = √[(a-R-r)^2 + 2(R-r)^2]。
公式：d = √[(a-R-r)^2 + 2(R-r)^2]
提示：利用坐标差计算距离。
步骤 3/6
目标：利用两球外切条件列方程
两球外切，球心距等于半径和：√[(a-R-r)^2 + 2(R-r)^2] = R+r。两边平方得 (a-R-r)^2 + 2(R-r)^2 = (R+r)^2。
公式：(a-R-r)^2 + 2(R-r)^2 = (R+r)^2
提示：平方时注意正负，但距离非负。
步骤 4/6
目标：化简方程
展开并整理：左边 = (a-R-r)^2 + 2(R^2 - 2Rr + r^2) = (a-R-r)^2 + 2R^2 - 4Rr + 2r^2；右边 = R^2 + 2Rr + r^2。移项得 (a-R-r)^2 + R^2 - 6Rr + r^2 = 0，即 (a-R-r)^2 = 4Rr。
公式：(a-R-r)^2 = 4Rr
提示：注意合并同类项。
步骤 5/6
目标：分析方程含义
方程 (a-R-r)^2 = 4Rr 表明，给定R，可解出r，反之亦然。R和r不是唯一确定的，因此两球半径之和R+r可以变化。
提示：这是一个关于R和r的二次方程，解不唯一。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于R+r不是定值，故两球半径之和不能确定，选择A。
提示：注意题目问的是和，不是单个半径。
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