西安交通大学 2023年强基第3题
📝 题目
设函数 $f$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，在 $(0,+\infty)$ 上严格单调，且 $f\left[f(x)-\log _{3} x\right]=4$ ，求 $f(x)\lt 4$ 的解集 。 A．$\{x \mid 0\lt x\lt 2\}$ B．$\{x \mid 0\lt x\lt 3\}$ C．$\{x \mid 1\lt x\lt 2\}$ D．$\{x \mid 1\lt x\lt 3\}$
💡 答案解析
$B$ 解析：由 $f$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ 知，$\forall x\gt 0, f(x)-\log _{3} x\gt 0$ ．假设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调减，则 $\forall x \geq \max \left\{1,3^{f(1)}\right\}, f(x)-\log _{3} x \leq f(1)-\log _{3} 3^{f(1)}=0$ ，矛盾！因此由 $f$ 单调知，$f$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增，考虑不等式 $f(x)\lt 4=f\left[f(x)-\log _{3} x\right]$ ，则 $x\lt f(x)-\log _{3} x\lt 4-\log _{3} x$ ，即 $x+\log _{3} x\lt 4$ ，再由单调性可解出 $0\lt x\lt 3$ 。 另一方面，假设 $f(3)\gt 4$ ，由条件 $4=f\left[f(3)-\log _{3} 3\right] \geq f(4-1)=f(3)$ ，矛盾！因此 $f(3) \leq$ 4，由 $f$ 严格单调增知，$\forall x \in(0,3), f(x)\lt 4$ ．综上选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定f的单调性
假设f单调递减，则当x足够大时，f(x)-log3 x ≤ 0，与定义域要求矛盾，故f单调递增。
提示：利用反证法，结合定义域条件。
步骤 2/5
目标：转化不等式f(x)<4
由f单调递增，f(x)<4=f[f(x)-log3 x] 推出 x < f(x)-log3 x < 4-log3 x，即 x+log3 x < 4。
公式：x+log3 x < 4
提示：注意f严格单调递增，不等式方向不变。
步骤 3/5
目标：解不等式x+log3 x < 4
函数g(x)=x+log3 x在(0,+∞)上单调递增，且g(3)=3+1=4，故解集为0
公式：g(x)=x+log3 x
提示：利用单调性解不等式。
步骤 4/5
目标：验证f(3)≤4
假设f(3)>4，则f[f(3)-1]≥f(3)>4，与f[f(3)-1]=4矛盾，故f(3)≤4。
提示：利用已知条件f[f(x)-log3 x]=4。
步骤 5/5
目标：得出最终解集
由f单调递增及f(3)≤4，对任意x∈(0,3)有f(x)<4，故解集为(0,3)。
提示：结合单调性和边界值。
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