西安交通大学 2023年强基第4题

$D$ 解析：函数 $f$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，可写成 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}f_{1}(x)=-\ln x+1,0\lt x\lt 1 \\ f_{2}(x)=\ln x+1, x \geq 1\end{array}\right.$ ，由于函数 $f$ 的图像与直线 $y=m$ 交于 $A, B$ 两点，则 $m\gt 1$ ，且 $A=\left(e^{1-m}, m\right), B=\left(e^{m-1}, m\right)$ ，由 $\displaystyle f^{\prime}(x)= \left\{\begin{array}{c}f_{1}{ }^{\prime}(x)=-\frac{1}{x}, 0\lt x\lt 1 \\ f_{2}{ }^{\prime}(x)=\frac{1}{x}, x\gt 1\end{array}\right.$ 知，在点 $A$ 处函数 $f$ 的图像的切线 $l_{1}: y=-e^{m-1}\left(x-e^{1-m}\right)+m$ ，在点 $B$ 处函 数 $f$ 的图像的切线 $l_{2}: y=-e^{1-m}\left(x-e^{m-1}\right)+m$ ．联立 $l_{1}, l_{2}$ 方程，解得 $\displaystyle a=\frac{2 e^{1-m}}{\left(e^{1-m}\right)^{2}+1}, \quad b=(m-1)+ \frac{2}{1+\left(e^{m-1}\right)^{2}}$ ．考虑函数 $\displaystyle g(x)=x+\frac{2}{1+e^{2 x}}(x \geq 0)$ ，则 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\left(\frac{1-e^{2 x}}{1+e^{2 x}}\right)^{2}\gt 0$ ，故 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调增，因此 $\forall x\gt 0, g(x)\gt g(0)=1$ ．另一方面，显然 $\forall x\gt 0, g(x)\gt x$ ，故由连续性知 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上的值域为 $(1,+\infty)$ 。综上，$b$ 的取值范围为 $(1,+\infty)$ 。