西安交通大学 2023年强基第5题

B 解析：由于伸缩与平移变换均不改变 $\displaystyle \frac{k_{1}}{k_{2}}$ ，故可不妨设 $A=1, \omega=1, \varphi=0$ ．设直线 $y=k x+t$ 与函数 $y=\sin x$ 的图像相切于 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，其中 $x_{1}\lt x_{2}$ ，则 $k=\cos x_{1}=\cos x_{2}$ ，故 $x_{2} \pm x_{1}= 2 m \pi\left(m \in \mathbb{N}^{*}\right)$ ．若 $x_{2}-x_{1}=2 m \pi$ ，则 $y_{1}=\sin x_{1}=\sin x_{2}=y_{2}$ ，故 $\displaystyle k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=0$ ．若 $x_{2}+x_{1}= 2 m \pi$ ，则 $\displaystyle k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{\sin x_{2}-\sin x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{2 \sin x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ ．为求 $k$ 所有可能取值中最大的两个值，以下只需考虑 $\sin x_{1}\lt 0\lt \cos x_{1}$ 的情形，故不妨设 $\displaystyle x_{1} \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ ，因此由单调性知，当 $x_{2}=2 \pi-x_{1}$ 时，$\displaystyle k_{1}=- \frac{\sin x_{1}}{\pi-x_{1}}$ ；当 $x_{2}=4 \pi-x_{1}^{\prime}$ 时，$\displaystyle k_{2}=-\frac{\sin x_{1}^{\prime}}{2 \pi-x_{1}^{\prime}}$ ，故 $\displaystyle \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\sin x_{1}}{\sin x_{1}^{\prime}} \cdot \frac{2 \pi-x_{1}^{\prime}}{\pi-x_{1}}$ 。 现在求上式的取值范围：注意到 $\displaystyle x_{1} \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 满足 $\displaystyle -\frac{\sin x_{1}}{\pi-x_{1}}=\cos x_{1}$ ，即 $\displaystyle \tan x_{1}-x_{1}=-\pi ; x_{1}^{\prime} \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 满足 $\displaystyle -\frac{\sin \dot{x}_{1}}{2 \pi-x_{1}}=\cos x_{1}^{\prime}$ ，即 $\tan x_{1}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=-2 \pi$ 。考虑函数 $\displaystyle f(t)=\tan t-t\left(t \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)\right)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{1}{\cos ^{2} t}-1\gt 0$ ，故 $f$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上严格单调增．因此由 $\displaystyle f\left(x_{1}^{\prime}\right)\lt f\left(x_{1}\right)\lt f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ 知，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\lt x_{1}^{\prime}\lt x_{1}\lt -\frac{\pi}{3}$ ．于是一方面，$\displaystyle \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\sin x_{1}}{\sin x_{1}} \cdot \frac{2 \pi-x_{1}}{\pi-x_{1}}\lt \frac{2 \pi-\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\pi-\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{15}{8}$ ；另一方面，考虑函数 $\displaystyle g(t)=-\frac{\sin t}{\pi-t}(t \in \left.\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)\right)$ ，则 $\displaystyle g^{\prime}(t)=-\frac{\cos t}{(\pi-t)^{2}}(f(t)+\pi)$ 。当 $\displaystyle t \in\left(-\frac{\pi}{2}, x_{1}\right)$ 时，$f(t)\lt f\left(x_{1}\right)=-\pi$ ，即 $g^{\prime}(t)\gt 0$ ，则 $g$在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, x_{1}\right)$ 上单调减；当 $t \in\left(x_{1}, 0\right)$ 时，$f(t)\gt f\left(x_{1}\right)=-\pi$ ，即 $g^{\prime}(t)\lt 0$ ，则 $g$ 在 $\left(x_{1}, 0\right)$ 上单调增．因此 $\displaystyle \forall t \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right), g(t) \geq g\left(x_{1}\right)$ ，故 $$ \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\sin x_{1}}{\sin x_{1}^{\prime}} \cdot \frac{2 \pi-x_{1}^{\prime}}{\pi-x_{1}}\gt \frac{2 \pi-x_{1}^{\prime}}{\pi-x_{1}^{\prime}}=1+\frac{\pi}{\pi-x_{1}^{\prime}}\gt 1+\frac{\pi}{\pi-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{5}{3} $$ 综上所述，选B。