西安交通大学 2023年强基第6题

$\displaystyle \frac{\sqrt{3} \pi}{2}+\frac{4 \pi}{3}$ ，解析：以点 $A$ 为原点，直线 $A B$ 为 $x$ 轴，直线 $A D$ 为 $y$ 轴，直线 $A A_{1}$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $A=(0,0,0), B=(3,0,0)$ ．记 $P=(x, y, z)$ ，由条件 $|P A|=2|P B|$ ，即 $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}= 2 \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，可解出 $(x-4)^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ ．考虑此球面与正方体表面的交集如下：它与正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 交于圆弧 $\left\{\begin{array}{c}x=3 \\ y^{2}+z^{2}=3,0 \leq y, z \leq 3\end{array}\right.$ ，长度为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3} \pi}{2}$ ；它与正方形 $A B C D$ 交于圆弧 $\left\{\begin{array}{c}z=0 \\ (x-4)^{2}+y^{2}=4,0 \leq x, y \leq 3\end{array}\right.$ ，长度为 $\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$ ；它与正方形 $B B_{1} A_{1} A$ 交于圆弧 $\left\{\begin{array}{c}y=0 \\ (x-4)^{2}+z^{2}=4,0 \leq x, z \leq 3\end{array}\right.$ ，长度为 $\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$ ；它与正方体的其它表面无交集．综上所述，点 $P$ 的轨迹长为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3} \pi}{2}+\frac{4 \pi}{3}$ 。