西安交通大学 2023年强基第7题
📝 题目
求 $x^{2}-2 x+e^{x}=0$ 的根的个数 。 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
💡 答案解析
$A$ 解析：注意到 $x^{2}-2 x+e^{x}=(x-1)^{2}+\left(e^{x}-1\right)$ 。当 $x \leq 0$ 时，$(x-1)^{2} \geq 1, e^{x}-1\gt -1$ ，则原式 $\gt 0$ ；当 $x\gt 0$ 时，$(x-1)^{2} \geq 0, e^{x}-1\gt 0$ ，则原式 $\gt 0$ 。因此上述方程无根。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原方程转化为函数形式
令 f(x)=x^2-2x+e^x，求方程 f(x)=0 的根的个数即求函数 f(x) 的零点个数。
公式：f(x)=x^2-2x+e^x
提示：将方程转化为函数零点问题
步骤 2/5
目标：对函数进行变形
将 f(x) 配方并分离：f(x)=(x-1)^2+(e^x-1)。
公式：f(x)=(x-1)^2+(e^x-1)
提示：利用完全平方公式
步骤 3/5
目标：分析 x≤0 时 f(x) 的符号
当 x≤0 时，(x-1)^2≥1，e^x-1≥e^0-1=0，但等号不同时成立，故 f(x)>0。
提示：注意等号成立条件
步骤 4/5
目标：分析 x>0 时 f(x) 的符号
当 x>0 时，(x-1)^2≥0，e^x-1>0，故 f(x)>0。
提示：指数函数在 x>0 时大于1
步骤 5/5
目标：综合结论
对所有实数 x，f(x)>0 恒成立，因此方程无实根，根的个数为0。
提示：恒正则无零点
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