西安交通大学 2023年强基第8题

$A$ 解析：由条件 $\displaystyle a^{2}\lt a^{2}+\frac{1}{2} c^{2}=b^{2}\lt a^{2}+c^{2}$ 知， $\displaystyle 0\lt A\lt B\lt \frac{\pi}{2}$ ，故 $0\lt \tan A\lt \tan B$ ．再由条件与正弦定理知， $2 \sin ^{2} B=2 \sin ^{2} A+\sin ^{2} C$ ．由 $A+B+C=\pi$ 知， $\sin C=\sin (A+B)$ ，则 $\sin ^{2} C=(\sin A \cos B+\sin B \cos A)^{2}=\sin ^{2} A \cos ^{2} B+\sin ^{2} B \cos ^{2} A+2 \sin A \cos B \sin B \cos A \#$,代入知 $2\left(\sin ^{2} B-\sin ^{2} A\right)=\sin ^{2} A \cos ^{2} B+\sin ^{2} B \cos ^{2} A+2 \sin A \cos B \sin B \cos A$ 。两边同除 $\cos ^{2} A \cos ^{2} B$ 知， $\displaystyle 2\left(\frac{\tan ^{2} B}{\cos ^{2} A}-\frac{\tan ^{2} A}{\cos ^{2} B}\right)=\tan ^{2} A+\tan ^{2} B+2 \tan A \tan B=(\tan A+\tan B)^{2}$ ．而 $\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2} A}= \tan ^{2} A+1, ~ \frac{1}{\cos ^{2} B}=\tan ^{2} B+1$ ，代入知 $2\left(\tan ^{2} B-\tan ^{2} A\right)=(\tan A+\tan B)^{2}$ ，解出 $\tan B=3 \tan A$ 。