西安交通大学 2023年强基第1题
📝 题目
设集合 $X$ 有 $m$ 个元素，集合 $Y$ 有 $n$ 个元素，求集合 $X \times Y$ 有多少子集，并说明理由。
💡 答案解析
解析：由乘法原理知，集合 $X \times Y$ 有 $m n$ 个元素；按照 $X \times Y$ 中每个元是否属于该子集知，集合 $X \times Y$ 有 $2^{m n}$ 个子集。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定集合X×Y的元素个数
集合X有m个元素，Y有n个元素，则X×Y中的有序对由X中任选一个和Y中任选一个组成，由乘法原理，共有m×n个元素。
公式：|X×Y| = m·n
提示：注意有序对(x,y)中x来自X，y来自Y，顺序重要。
步骤 2/4
目标：理解子集的定义
集合X×Y的子集是由其元素（即有序对）组成的集合，每个元素可以选或不选，因此子集个数由每个元素的两种状态决定。
公式：子集个数 = 2^{元素个数}
提示：空集和自身都是子集。
步骤 3/4
目标：应用乘法原理计算子集个数
对于X×Y中的每个元素，有两种选择：属于子集或不属于。由于共有m×n个元素，根据乘法原理，子集总数为2^{m×n}。
公式：子集个数 = 2^{|X×Y|} = 2^{mn}
提示：每个元素独立选择，故用乘法。
步骤 4/4
目标：给出最终答案
因此，集合X×Y的子集个数为2^{mn}。
提示：答案简洁明了。
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