西安交通大学 2023年强基第2题
📝 题目
（1）证明：$(A \cap B) \times(C \cap D)=(A \times C) \cap(B \times D)$ ； （2）$(A \cup B) \times(C \cup D)=(A \times C) \cup(B \times D)$ 一定成立吗？并说明理由。
💡 答案解析
解析： （1）证明：注意 $(x, y) \in(A \cap B) \times(C \cap D) \Leftrightarrow x \in A \cap B \wedge y \in C \cap D \Leftrightarrow(x, y) \in(A \times C) \cap(B \times D)$ ，则由外延公理知，$(A \cap B) \times(C \cap D)=(A \times C) \cap(B \times D)$ ； （2）不一定，例如 $A=\left\{x_{1}, x_{2}\right\}, B=\left\{x_{2}, x_{3}\right\}, C=\left\{y_{1}, y_{2}\right\}, D=\left\{y_{2}, y_{3}\right\}$ ，则 $(A \cup B) \times(C \cup D)= \left\{\left(x_{i}, y_{j}\right): i, j=1,2,3\right\}$ ，但 $(A \times C) \cup(B \times D)=\left\{\left(x_{i}, y_{j}\right): i, j=1,2,3 ;|i-j| \leq 1\right\}$ ，二者不相同。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明等式 (A∩B)×(C∩D) = (A×C)∩(B×D)
任取 (x,y) ∈ (A∩B)×(C∩D)，则 x∈A∩B 且 y∈C∩D，即 x∈A, x∈B, y∈C, y∈D。因此 (x,y)∈A×C 且 (x,y)∈B×D，故 (x,y)∈(A×C)∩(B×D)。反之亦然，由外延公理得等式成立。
公式：(A∩B)×(C∩D) = (A×C)∩(B×D)
提示：利用笛卡尔积和交的定义，双向包含证明相等。
步骤 2/4
目标：判断 (A∪B)×(C∪D) = (A×C)∪(B×D) 是否一定成立
不一定成立。需要构造反例说明等式不恒成立。
提示：考虑集合元素不重叠或部分重叠的情况。
步骤 3/4
目标：构造反例
取 A={x1,x2}, B={x2,x3}, C={y1,y2}, D={y2,y3}。则 A∪B={x1,x2,x3}, C∪D={y1,y2,y3}，左边为所有9个有序对。右边 (A×C)∪(B×D) 包含 (x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2),(x2,y3),(x3,y2),(x3,y3)，缺少 (x1,y3) 和 (x3,y1)。
提示：选择元素使得左右集合不同。
步骤 4/4
目标：说明反例中左右不相等
左边有9个元素，右边只有7个，因此不相等。故原等式不一定成立。
提示：通过元素个数或具体元素对比。
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