西安交通大学 2023年强基第3题
📝 题目
记 $R=\left\{(x, y) \mid x+y=6, x, y \in \mathbb{N}^{*}\right\}, S=\left\{(x, y) \mid x y+x=30, x, y \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ （1）若 $A=\{1,2,3,4,5\}$ ，求 $S_{(A)}^{-1}$ ； （2）求 $R^{-1}$ 与 $S \circ R$ 。
💡 答案解析
解析： （1）由定义知 $S_{(A)}^{-1}=\{(x, y) \mid \exists y \in A(y, x) \in S\}$ ，则只需对于 $y \in\{1,2,3,4,5\}$ ，解方程 $y x+y=30, x \in \mathbb{N}$ ．因此 $(x, y)=(29,1),(14,2),(9,3),(5,5)$ 均符合，即 $S_{(A)}^{-1}=\{(29,1),(14,2),(9,3),(5,5)\}$ ； （2）由定义知 $R^{-1}=\left\{(x, y) \mid y+x=6, y, x \in \mathbb{N}^{*}\right\}=R ; S \circ R=\{(x, z) \mid \exists y(x S y \wedge y R z)\}= \left\{(x, z) \mid \exists y\left(x y+x=30 \wedge y+z=6 \wedge x, y, z \in \mathbb{N}^{*}\right)\right\}=\{(15,5),(10,4),(6,2),(5,1)\} 。$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解S_{(A)}^{-1}的定义
S_{(A)}^{-1} = {(x,y) | ∃y∈A, (y,x)∈S}，即对于A中的每个y，找到满足(y,x)∈S的x。
公式：S_{(A)}^{-1} = {(x,y) | ∃y∈A, (y,x)∈S}
提示：注意逆映射的定义中，原像和像交换。
步骤 2/8
目标：求解S_{(A)}^{-1}中的元素
对于y∈{1,2,3,4,5}，解方程yx+y=30，即y(x+1)=30，得x=30/y -1。需x∈N*。
公式：y(x+1)=30
提示：y必须是30的约数，且x为正整数。
步骤 3/8
目标：列出所有满足条件的(x,y)
y=1时x=29；y=2时x=14；y=3时x=9；y=4时x=6.5（非整数舍去）；y=5时x=5。故得(29,1),(14,2),(9,3),(5,5)。
提示：注意y=4时x不是整数，舍去。
步骤 4/8
目标：写出S_{(A)}^{-1}
S_{(A)}^{-1} = {(29,1), (14,2), (9,3), (5,5)}。
提示：结果用集合表示。
步骤 5/8
目标：求R^{-1}
R={(x,y)|x+y=6,x,y∈N*}，则R^{-1}={(x,y)|y+x=6,y,x∈N*}，与R相同。
公式：R^{-1} = R
提示：R是对称关系。
步骤 6/8
目标：理解S∘R的定义
S∘R = {(x,z) | ∃y, (x,y)∈S且(y,z)∈R}。即存在y使得xS y且yR z。
公式：S∘R = {(x,z) | ∃y, (x,y)∈S ∧ (y,z)∈R}
提示：复合关系先S后R。
步骤 7/8
目标：求解S∘R中的元素
由S: xy+x=30，即x(y+1)=30；由R: y+z=6。x,y,z∈N*。枚举y从1到5（因为x为正整数，y+1整除30），得y=1时x=15,z=5；y=2时x=10,z=4；y=3时x=7.5（舍）；y=4时x=6,z=2；y=5时x=5,z=1。
公式：x(y+1)=30, y+z=6
提示：y必须是30的约数减1，且y∈N*。
步骤 8/8
目标：写出S∘R
S∘R = {(15,5), (10,4), (6,2), (5,1)}。
提示：结果用集合表示。
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