西安交通大学 2023年强基第4题
📝 题目
设 $X, Y, Z, W$ 为四个非空集合，$R$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一种关系，$S$ 为 $Y$ 到 $Z$ 的一种关系，$T$ 为 $Z$ 到 $W$ 的一种关系．证明： （1）$\left(R^{-1}\right)^{-1}=R$ ； （2）$(R \circ S)^{-1}=S^{-1} \circ R^{-1}$ ； （3）$R \circ(S \circ T)=(R \circ S) \circ T$ 。
💡 答案解析
解析： （1）注 意 $(x, y) \in\left(R^{-1}\right)^{-1} \Leftrightarrow y R^{-1} x \Leftrightarrow(y, x) \in R^{-1} \Leftrightarrow x R y \Leftrightarrow(x, y) \in R$ ，则由外延公理知， $\left(R^{-1}\right)^{-1}=R$ ； （2）注意 $(z, x) \in(R \circ S)^{-1} \Leftrightarrow x(R \circ S) z \Leftrightarrow \exists y \in Y(x R y \wedge y S z) \Leftrightarrow \exists y \in Y\left(y R^{-1} x \wedge z S^{-1} x\right) \Leftrightarrow z\left(S^{-1} 。\right. \left.R^{-1}\right) x$ ，则由外延公理知，$(R \circ S)^{-1}=S^{-1} \circ R^{-1}$ ． （3）注 意 $(x, w) \in R \circ(S \circ T) \Leftrightarrow \exists y \in Y(x R y \wedge y(S \circ T) w) \Leftrightarrow \exists y \in Y(x R y \wedge \exists z \in Z(y S z \wedge z T w)) \Leftrightarrow \exists y \in Y \exists z \in Z(x R y \wedge y S z \wedge z T w) \Leftrightarrow \exists z \in Z(\exists y \in Y(x R y \wedge y S z) \wedge z T w) \Leftrightarrow \exists z \in Z(x(R \circ S) z \wedge z T w) \Leftrightarrow(x, w) \in(R \circ S) \circ T$ ，则由外延公理知，$R \circ(S \circ T)=(R \circ S) \circ T 。$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明 (R^{-1})^{-1} = R
根据逆关系的定义，有 (x,y) ∈ (R^{-1})^{-1} ⇔ (y,x) ∈ R^{-1} ⇔ (x,y) ∈ R。由外延公理得两关系相等。
公式：(x,y) ∈ (R^{-1})^{-1} ⇔ (x,y) ∈ R
提示：注意逆关系定义：R^{-1} = {(y,x) | (x,y) ∈ R}。
步骤 2/3
目标：证明 (R∘S)^{-1} = S^{-1}∘R^{-1}
对任意 (z,x) ∈ (R∘S)^{-1} ⇔ (x,z) ∈ R∘S ⇔ ∃y∈Y: (x,y)∈R 且 (y,z)∈S ⇔ ∃y∈Y: (y,x)∈R^{-1} 且 (z,y)∈S^{-1} ⇔ (z,x) ∈ S^{-1}∘R^{-1}。由外延公理得证。
公式：(R∘S)^{-1} = S^{-1}∘R^{-1}
提示：复合关系定义：R∘S = {(x,z) | ∃y∈Y: (x,y)∈R 且 (y,z)∈S}。
步骤 3/3
目标：证明 R∘(S∘T) = (R∘S)∘T
对任意 (x,w) ∈ R∘(S∘T) ⇔ ∃y∈Y: (x,y)∈R 且 (y,w)∈S∘T ⇔ ∃y∈Y, ∃z∈Z: (x,y)∈R, (y,z)∈S, (z,w)∈T ⇔ ∃z∈Z: (x,z)∈R∘S 且 (z,w)∈T ⇔ (x,w)∈(R∘S)∘T。由外延公理得证。
公式：R∘(S∘T) = (R∘S)∘T
提示：复合关系满足结合律，证明关键是存在量词的交换。
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