西安交通大学 2023年强基第5题
📝 题目
记 $\Omega=\{R \subseteq X \times X \mid \forall S \subseteq X \times X(R \circ S=S \circ R)\}$ 证明：$\Omega=\{\emptyset, \Delta\}$ ，其中 $\Delta=\{(x, x) \mid x \in X\}$ 。
💡 答案解析
解析：设 $R \in \Omega$ 。显然 $R=\emptyset$ 满足条件．现设 $R \neq \emptyset$ ，取 $z_{0} \in X$ 满足 $\exists y \in X y R z_{0}$ ；再任取 $x_{0} \in X$ ，记 $S=\left\{x_{0}\right\} \times X$ ．由 $R \circ S=S \circ R$ 知，$\forall x, z \in X\left(x R x_{0} \Leftrightarrow \exists y \in X(x R y \wedge y S z) \Leftrightarrow(x, z) \in R \circ S \Leftrightarrow\right. \left.(x, z) \in S \circ R \Leftrightarrow \exists y \in X(x S y \wedge y R z) \Leftrightarrow x=x_{0} \wedge \exists y \in X(y R z) \Rightarrow x=x_{0}\right)$ ，故 $R \subseteq \Delta$ 。另一方面，显然 $\Delta \subseteq R$ ．因此 $R=\Delta$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确要证明的结论：Ω由空集和恒等关系组成
题目要求证明Ω={∅, Δ}，其中Δ是X上的恒等关系。我们需要证明任何满足条件的关系R要么是空集，要么是Δ。
公式：Ω={R⊆X×X | ∀S⊆X×X (R∘S=S∘R)}
提示：注意Ω的定义：R与所有关系S可交换。
步骤 2/7
目标：验证空集属于Ω
空关系∅与任何关系S的复合都是空集，即∅∘S=∅且S∘∅=∅，因此∅∘S=S∘∅成立，故∅∈Ω。
公式：∅∘S=∅, S∘∅=∅
提示：空关系是平凡的。
步骤 3/7
目标：假设R非空，并选取特定元素
设R∈Ω且R≠∅。则存在z0∈X使得存在y∈X满足yRz0。再任取x0∈X，定义关系S={x0}×X，即S={(x0, t) | t∈X}。
公式：S = {x0}×X
提示：S是单点集与全集的笛卡尔积。
步骤 4/7
目标：利用交换性条件推导关系
由R∘S=S∘R，对任意x,z∈X，有(x,z)∈R∘S当且仅当(x,z)∈S∘R。计算两边：R∘S={(x,z) | ∃y: xRy且ySz}，由于ySz当且仅当y=x0，故等价于xRx0且z任意；S∘R={(x,z) | ∃y: xSy且yRz}，xSy当且仅当x=x0，故等价于x=x0且存在y使得yRz。
公式：R∘S = S∘R
提示：注意S的定义简化了复合关系。
步骤 5/7
目标：推导出R⊆Δ
由等价性，对任意x,z，xRx0当且仅当x=x0且存在y使yRz。特别地，取z=z0，则xRx0当且仅当x=x0且存在y使yRz0。由于存在y使yRz0，故xRx0当且仅当x=x0。因此，若xRy，则必有x=y，即R⊆Δ。
公式：xRx0 ⇔ x=x0
提示：利用z0的存在性消去条件。
步骤 6/7
目标：证明Δ⊆R
由于R非空，存在某对(a,a)∈R？实际上，由R⊆Δ知R中元素均为(x,x)形式。但还需证明所有(x,x)都在R中。取任意x∈X，考虑S={x}×X，类似推理可得xRx，故Δ⊆R。
公式：∀x∈X, xRx
提示：利用对称性，对每个x重复类似论证。
步骤 7/7
目标：得出结论R=Δ
由R⊆Δ和Δ⊆R，得R=Δ。因此Ω中非空关系只能是Δ，加上空集，故Ω={∅, Δ}。
公式：R=Δ
提示：综合两部分。
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