厦门大学 2023年强基第1题
📝 题目
变换 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$ 将复平面 $(z=x+y i)$ 上的直线 $x=1$ 变换为 $w$ 平面 $(w=p+q i)$ 上的曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 围成的面积是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
$\displaystyle z=1+b i \quad w=\frac{1}{1+b i}=\frac{1-b i}{1+b^{2}}$ $\displaystyle \therefore p=\frac{1}{1+b^{2}} \quad q=\frac{-b}{1+b^{2}}$ $\displaystyle \therefore p^{2}+q^{2}=\frac{1}{1+b^{2}}=p$ $\displaystyle \therefore\left(p-\frac{1}{2}\right)^{2}+q^{2}=\frac{1}{4}$ ，围成面积为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将直线x=1表示为复数形式
直线x=1上的点可写为z=1+bi，其中b为实数。
公式：z = 1 + bi
提示：b是任意实数，表示直线上的所有点。
步骤 2/6
目标：应用变换w=1/z得到w的表达式
代入z=1+bi，计算w=1/(1+bi)= (1-bi)/(1+b^2)。
公式：w = (1 - bi)/(1 + b^2)
提示：利用共轭复数化简分母。
步骤 3/6
目标：分离实部和虚部
设w=p+qi，则p=1/(1+b^2)，q=-b/(1+b^2)。
公式：p = 1/(1+b^2), q = -b/(1+b^2)
提示：注意q的符号。
步骤 4/6
目标：消去参数b得到p和q的关系
计算p^2+q^2 = (1+b^2)/(1+b^2)^2 = 1/(1+b^2) = p，所以p^2+q^2=p。
公式：p^2 + q^2 = p
提示：利用p的表达式简化。
步骤 5/6
目标：化为标准圆的方程
将p^2+q^2=p配方得(p-1/2)^2+q^2=1/4，表示圆心(1/2,0)，半径1/2的圆。
公式：(p-1/2)^2 + q^2 = (1/2)^2
提示：配方时注意常数项。
步骤 6/6
目标：计算曲线C围成的面积
圆面积为π*(1/2)^2=π/4。
公式：面积 = π * (1/2)^2 = π/4
提示：圆的面积公式。
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