厦门大学 2023年强基第2题
📝 题目
在区间 $(-1,1)$ 上任取 2 个数，则两数之和小于 0.4 的概率是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
两数设为 $x, y$ 
$$ \begin{aligned} \therefore p & =\frac{S_{\text {阴 }}}{4} \\ & =\left(4-S_{\triangle A B C}\right) \frac{1}{4} \\ & =\left(4-\frac{1.6 \times 1.6}{2}\right) \frac{1}{4} \\ & =1-0.32=0.68 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \therefore p & =\frac{S_{\text {阴 }}}{4} \\ & =\left(4-S_{\triangle A B C}\right) \frac{1}{4} \\ & =\left(4-\frac{1.6 \times 1.6}{2}\right) \frac{1}{4} \\ & =1-0.32=0.68 \end{aligned} $$📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立几何概率模型
设两数为x,y，在区间(-1,1)上任取，则点(x,y)均匀分布在边长为2的正方形区域内，面积为4。
提示：注意区间是开区间，但不影响面积计算。
步骤 2/6
目标：确定事件区域
事件“两数之和小于0.4”即x+y<0.4。在正方形内画出直线x+y=0.4，满足条件的区域是直线下方的部分。
公式：x+y<0.4
提示：直线与正方形边界交于两点，需计算交点坐标。
步骤 3/6
目标：计算交点坐标
直线x+y=0.4与x=-1交于(-1,1.4)，但y上限为1，故实际交点为(-1,1)；与y=-1交于(1.4,-1)，实际交点为(1,-1)；与x=1交于(1,-0.6)；与y=1交于(-0.6,1)。
提示：注意边界限制，直线与正方形相交于两点(-0.6,1)和(1,-0.6)。
步骤 4/6
目标：计算不满足条件的区域面积
不满足条件即x+y≥0.4的区域，为右上角三角形，顶点为(-0.6,1)、(1,-0.6)、(1,1)，直角边长为1.6，面积=1.6×1.6/2=1.28。
公式：S_△ = (1.6×1.6)/2 = 1.28
提示：三角形是等腰直角三角形。
步骤 5/6
目标：计算满足条件的区域面积
满足条件的区域面积=正方形面积-三角形面积=4-1.28=2.72。
公式：S_阴 = 4 - 1.28 = 2.72
步骤 6/6
目标：计算概率
概率=满足条件区域面积/正方形面积=2.72/4=0.68。
公式：p = 2.72/4 = 0.68
提示：也可用1减去三角形面积占比：1-1.28/4=0.68。
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