厦门大学 2023年强基第3题
📝 题目
若椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的内接等腰三角形 $A B C$ 的底边平行于 $x$ 轴，则 $\triangle A B C$ 的面积最大值是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
设 $A D=h+b$ $\displaystyle \therefore \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{h^{2}}{b^{2}}=1$ $\displaystyle \therefore x_{c}^{2}=a^{2}\left(1-\frac{h^{2}}{b^{2}}\right)$ 
$\therefore S_{A B C}=C D \times A D$ $$ =a \sqrt{1-\frac{h^{2}}{b^{2}}} \cdot(h+b)=\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}\left(b^{2}-h^{2}\right)(b+h)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}(b-h)(b+h)^{3}} $$ 因 $\displaystyle (3 b-3 h)(b+h)^{3} \leqslant\left[\frac{1}{4}(3 b-3 h+3 b+3 h)\right]^{4}$ $\displaystyle \therefore(b-h)(b+h)^{3} \leqslant \frac{1}{3} \times\left(\frac{3}{2} b\right)^{4}=\frac{27}{16} b^{4}$ $\displaystyle \therefore S_{A B C} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{27}{16} b^{4}}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} a b$
$\therefore S_{A B C}=C D \times A D$ $$ =a \sqrt{1-\frac{h^{2}}{b^{2}}} \cdot(h+b)=\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}\left(b^{2}-h^{2}\right)(b+h)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}(b-h)(b+h)^{3}} $$ 因 $\displaystyle (3 b-3 h)(b+h)^{3} \leqslant\left[\frac{1}{4}(3 b-3 h+3 b+3 h)\right]^{4}$ $\displaystyle \therefore(b-h)(b+h)^{3} \leqslant \frac{1}{3} \times\left(\frac{3}{2} b\right)^{4}=\frac{27}{16} b^{4}$ $\displaystyle \therefore S_{A B C} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{27}{16} b^{4}}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} a b$📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设等腰三角形底边BC平行于x轴，顶点A在椭圆上，设A的纵坐标为h，则底边BC的纵坐标为-b。
设A点坐标为(x_A, h)，由于底边BC平行于x轴且椭圆内接等腰三角形，底边BC在直线y=-b上，B、C关于y轴对称。
提示：利用椭圆对称性，底边在y=-b上。
步骤 2/8
目标：求底边BC的长度。
将y=-b代入椭圆方程得x^2/a^2 + b^2/b^2 = 1，即x^2/a^2 = 0，所以x=0，矛盾。实际上底边应在y=-b上？不对，底边平行于x轴，但顶点A在椭圆上，底边两端点也在椭圆上，设底边纵坐标为y0，则y0 < b。
提示：注意底边纵坐标不是-b，而是某个y0。
步骤 3/8
目标：重新设定：设A点纵坐标为y_A = b（最高点），底边BC纵坐标为y0，则三角形高为b - y0。
由于椭圆对称，等腰三角形顶点A应在椭圆上顶点或下顶点？实际上，为使面积最大，A应在椭圆上顶点(0,b)，底边BC在y=y0处，且B、C关于y轴对称。
提示：利用对称性，设A(0,b)。
步骤 4/8
目标：求底边BC的长度。
将y=y0代入椭圆方程得x^2/a^2 + y0^2/b^2 = 1，解得x = ±a√(1 - y0^2/b^2)，所以BC = 2a√(1 - y0^2/b^2)。
公式：BC = 2a√(1 - y0^2/b^2)
步骤 5/8
目标：求三角形面积表达式。
三角形面积S = (1/2) * BC * 高 = (1/2) * 2a√(1 - y0^2/b^2) * (b - y0) = a√(1 - y0^2/b^2) * (b - y0)。
公式：S = a(b - y0)√(1 - y0^2/b^2)
提示：高为b - y0。
步骤 6/8
目标：令t = y0/b，则S = a b (1 - t)√(1 - t^2)，其中t∈[-1,1]。
设t = y0/b，则y0 = b t，代入得S = a b (1 - t)√(1 - t^2)。求最大值。
公式：S = a b (1 - t)√(1 - t^2)
提示：换元简化。
步骤 7/8
目标：求S的最大值。
令f(t) = (1 - t)√(1 - t^2)，平方得f^2 = (1 - t)^2 (1 - t^2) = (1 - t)^3 (1 + t)。求导或利用不等式：由AM-GM，(1 - t)^3 (1 + t) ≤ [ (3(1-t) + (1+t))/4 ]^4 = [ (4 - 2t)/4 ]^4 = (1 - t/2)^4，当3(1-t)=1+t即t=1/2时取等。此时f^2 ≤ (1 - 1/4)^4 = (3/4)^4，所以f ≤ (3/4)^2 = 9/16，S ≤ a b * 9/16。
公式：S_max = (9/16) a b
提示：利用均值不等式。
步骤 8/8
目标：得出最终答案。
三角形面积最大值为(9/16)ab。
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