厦门大学 2023年强基第4题
📝 题目
已知 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi x}{4}, g(x)=\frac{1}{x-8}$ ，则方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $[-4,20]$ 上所有的根的和 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
$\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{4}}=8 \quad \therefore f(x)$ 关于 $(8,0)$ 对称 
$\therefore f(x)=g(x)$ 共有 8 个解，所有根的积为 64 。
$\therefore f(x)=g(x)$ 共有 8 个解，所有根的积为 64 。📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数对称性
f(x)=1/2 sin(πx/4)的周期T=2π/(π/4)=8，且sin(πx/4)关于点(8,0)中心对称，因此f(x)关于(8,0)对称。
公式：T=2π/|ω|
提示：注意正弦函数的对称中心为(kπ,0)。
步骤 2/5
目标：分析g(x)的对称性
g(x)=1/(x-8)是反比例函数，其图像关于点(8,0)中心对称。
公式：g(x)关于(8,0)对称
提示：反比例函数y=1/(x-a)关于点(a,0)对称。
步骤 3/5
目标：确定交点个数
在区间[-4,20]上，f(x)有3个完整周期（周期8），每个周期内与g(x)有2个交点，但需考虑端点。实际共有8个交点。
提示：画图辅助分析。
步骤 4/5
目标：利用对称性求和
由于f和g都关于(8,0)对称，交点成对出现且关于x=8对称。设8个根为x1,...,x8，则x1+x8=16，x2+x7=16，...，总和为4×16=64。
公式：若两点关于x=8对称，则和为16
提示：对称中心为(8,0)，横坐标和为16。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
所有根的和为64。
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