厦门大学 2023年强基第5题

（1）$f(m+1, n)+f(m-1, n)$ $=(m+1)^{2}-n^{2}+(m-1)^{2}-n^{2}=2\left(m^{2}+1-n^{2}\right)$ $f(m, n-1)+f(m, n+1)$ $=m^{2}-(n-1)^{2}+m^{2}-(n+1)^{2}=2\left(m^{2}-n^{2}-1\right)$ $\therefore f(m, n)=m^{2}-n^{2}$ 是兔函数 （2）取 $m=n=2$ 可知 $f(2,2)=1$ $f(m+1, n)=f(m-1, n)=f(m, n-1)=f(m, n+1)=0$ $\therefore f(m, n)=\left\{\begin{array}{cc}(-1)^{m} & m=n \\ 0 & m \neq n\end{array}\right.$ 不是兔函数 （3）$f(m+1, n)+f(m-1, n)$ $\displaystyle =\sin \frac{m+1}{2} \pi \cdot e^{n h}+\sin \frac{m-1}{2} \pi \cdot e^{n b}=0$ $$ \begin{aligned} & f(m, n-1)+f(m, n+1) \\ & =\sin \frac{m \pi}{2}\left(e^{(n-1) b}+e^{(n+1) b}\right)=\sin \frac{m \pi}{2} e^{n b}\left(e^{-b}+e^{b}\right)=4 \operatorname{si} \\ & \therefore f(m, n)=\sin \frac{m \pi}{2} e^{n b} \text { 是兔函数。 } \\ & \text { 6. }(a, b)=1=(a+b, b) \\ & \left(a^{2}+b^{2}, a b\right)=\left(a^{2}+b^{2}+2 a b, a b\right)=\left((a+b)^{2}, a b\right)=1 \\ & \text { 7. } x_{1}=a, x_{2}=b, x_{3}=\sqrt{2} b-a, x_{4}=b-\sqrt{2} a \\