厦门大学 2023年强基第6题
📝 题目
已知正整数 $a, b$ 互素，判断 $a^{2}+b^{2}$ 和 $a b$ 是否互素。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设d为a²+b²和ab的最大公约数
设d = gcd(a²+b², ab)，则d整除a²+b²和ab。
公式：d | (a²+b²) 且 d | ab
提示：引入最大公约数d是常见思路。
步骤 2/4
目标：利用d整除ab，分析d与a、b的关系
由d|ab，且a,b互素，可知d的素因子只能整除a或b中的一个，不能同时整除两者。
公式：若p|d且p为素数，则p|a或p|b，但不同时成立
提示：互素性质：若p|ab且p素数，则p|a或p|b。
步骤 3/4
目标：假设d有素因子p，推导矛盾
若p|d，则p|a²+b²。若p|a，则p|b²，从而p|b，与a,b互素矛盾。同理若p|b也矛盾。
公式：p|a ⇒ p|b² ⇒ p|b，与gcd(a,b)=1矛盾
提示：注意p|a²+b²且p|a可推出p|b²。
步骤 4/4
目标：得出d=1的结论
由于d的任何素因子都会导致矛盾，故d无素因子，即d=1。所以a²+b²与ab互素。
公式：gcd(a²+b², ab)=1
提示：互素即最大公约数为1。
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