厦门大学 2023年强基第7题
📝 题目
已知 $x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n+2}=\sqrt{2} x_{n+1}-x_{n}$ ，则 $x_{2023}=$ $\_\_\_\_$ ，前2023项和是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：识别递推关系类型
递推式 x_{n+2} = √2 x_{n+1} - x_n 是线性齐次递推，特征方程为 r^2 - √2 r + 1 = 0。
公式：r^2 - √2 r + 1 = 0
提示：注意系数为√2，不是2。
步骤 2/8
目标：求解特征根
解特征方程得 r = (√2 ± i√2)/2 = e^(±iπ/4)，即模为1，辐角±45°。
公式：r = e^(±iπ/4)
提示：复数根对应三角函数形式。
步骤 3/8
目标：写出通解形式
通解 x_n = A cos(nπ/4) + B sin(nπ/4)，由初始条件 x1=a, x2=b 确定A,B。
公式：x_n = A cos(nπ/4) + B sin(nπ/4)
提示：注意n从1开始。
步骤 4/8
目标：利用初始条件求A,B
代入n=1: a = A cos(π/4)+B sin(π/4)= (A+B)/√2；n=2: b = A cos(π/2)+B sin(π/2)= B。得B=b，A=√2 a - b。
公式：A = √2 a - b, B = b
提示：cos(π/2)=0, sin(π/2)=1。
步骤 5/8
目标：写出x_n表达式
x_n = (√2 a - b) cos(nπ/4) + b sin(nπ/4)。
公式：x_n = (√2 a - b) cos(nπ/4) + b sin(nπ/4)
提示：验证n=1,2正确。
步骤 6/8
目标：求x_{2023}
2023 mod 8 = 7，cos(7π/4)=√2/2，sin(7π/4)=-√2/2。代入得 x_{2023} = (√2 a - b)(√2/2) + b(-√2/2) = a - √2 b。
公式：x_{2023} = a - √2 b
提示：周期为8，利用周期性简化。
步骤 7/8
目标：求前2023项和
数列周期为8，一个周期内和为零（因cos和sin在一个周期内和为零）。2023=8×252+7，前2023项和等于前7项和。
公式：S_{2023} = S_7
提示：验证周期和为零：cos(π/4)+...+cos(7π/4)=0，sin类似。
步骤 8/8
目标：计算前7项和
前7项：x1=a, x2=b, x3=√2 b - a, x4= b - √2 a, x5= -a, x6= -b, x7= a - √2 b。求和得 S_7 = a + b + (√2 b - a) + (b - √2 a) + (-a) + (-b) + (a - √2 b) = b - √2 a。
公式：S_{2023} = b - √2 a
提示：逐项相加，注意抵消。
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