厦门大学 2023年强基第8题
📝 题目
从 1 到 100 中至少取 $\_\_\_\_$个数才能保证一定存在 2 个数互素。
💡 答案解析
偶数全部取完，共 50 个，所以只需取 51 个，必有两个数互素。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题要求
题目要求从1到100中至少取多少个数，才能保证一定存在两个数互素。互素即最大公约数为1。
提示：注意是'保证'，即最坏情况下的最小数目。
步骤 2/5
目标：分析最坏情况
最坏情况是取出的数中任意两个都不互素。考虑所有偶数，它们都有公因子2，任意两个偶数不互素。
提示：偶数集合是最大的不互素集合。
步骤 3/5
目标：计算最大不互素集合大小
1到100中偶数有50个（2,4,...,100）。这50个数中任意两个不互素，因此取50个数可能没有互素数对。
公式：偶数个数 = 100/2 = 50
提示：注意1与任何数互素，但1不是偶数。
步骤 4/5
目标：确定保证互素的数目
在50个偶数基础上再取任意一个数（如奇数），则必与某个偶数互素（因为奇数与偶数互素）。所以取51个数可保证。
公式：50 + 1 = 51
提示：考虑最坏情况后加1。
步骤 5/5
目标：验证结论
取51个数，若包含奇数，则与偶数互素；若全为偶数，但偶数只有50个，所以必含奇数。因此51是答案。
提示：反证法：若取50个数，可能全是偶数，无互素对。
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