厦门大学 2023年强基第9题
📝 题目
$n$ 位选手进行围棋单循环比赛，即两人之间恰进行一场比赛，已知现在已经进行了 12 场比赛，其中 6 人已赛 3 场，剩下的选手，平均比赛场次小于 3 场，则 $n$ 的最小值为 。 A． 9 B． 6 C． 7 D． 8
💡 答案解析
一共比赛了 12 场，有 6 人都比赛了 3 场，把这 6 人组成的集合称为 A 。每次比赛 2 人次，故一共 24 人次， A 中人员一共 18 人次，因此不在 A 中的人员还有 6 人次。因不在 A 中的人员的比赛平均数小于 3，因此至少要 9 人。构造如下： A 中每位人员的 3 场比赛对手均在 A 中，共 9 场。不在 A 中的人员设为 $P, Q, R$ ，则 $P$ 和 $Q, Q$ 和 $R, R$ 和 $P$ 之间各有一场比赛，共 3 场。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，提取关键信息
题目：n位选手单循环比赛，已赛12场，其中6人已赛3场，剩余选手平均比赛场次小于3场，求n的最小值。
提示：注意单循环比赛每场比赛涉及两人，总场次与总人次的关系。
步骤 2/6
目标：计算总比赛人次
总比赛场次为12，每场2人次，所以总比赛人次为12×2=24人次。
公式：总人次 = 总场次 × 2
步骤 3/6
目标：计算已赛3场的6人贡献的人次
6人每人已赛3场，共贡献6×3=18人次。
步骤 4/6
目标：计算剩余选手的人次和
总人次24减去18，剩余选手共贡献6人次。
公式：剩余人次 = 总人次 - 已赛3场人次
步骤 5/6
目标：设剩余选手人数为m，建立不等式
剩余选手平均比赛场次小于3，即6/m < 3，解得m > 2，所以m至少为3。
公式：平均场次 = 剩余人次 / m < 3
提示：注意m是整数，且m>2。
步骤 6/6
目标：确定n的最小可能值
n = 6 + m，m最小为3，所以n最小为9。验证：构造A中6人互相比赛共9场，剩余3人循环赛3场，总12场，满足条件。
提示：构造验证确保可行性。
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