山东大学 2023年强基第1题
📝 题目
已知 $p, q$ 为正整数，$p\gt q$ ，证明：$\displaystyle \frac{p}{q}$ 为有限小数或无限循环小数。
💡 答案解析
【解析】首先可不妨设 $(p, q)=1$ ，若 $q$ 不含有 2,5 以外的素因子，则存在 $k \in \mathbb{N}^{*}$ 使得 $q \mid 10^{k}$ ，从而 $\displaystyle 10^{k} \cdot \frac{p}{q} \in \mathbb{N}^{*}$ 即是 $\displaystyle \frac{p}{q}$ 有限小数。否则可设 $q=q_{1} \cdot q_{2}$ ，其中 $q_{1} \mid 10^{k},\left(q_{2}, 10\right)=1, q_{2}\gt 1$ 。由欧拉定理 $10^{l} \equiv 1\left(\bmod q_{2}\right)$ ，其中 $l=\varphi\left(q_{2}\right)$ ，类似的有如下结果： $\displaystyle 10^{k+m l} \cdot \frac{p}{q}-10^{k} \cdot \frac{p}{q} \in \mathbb{N}^{*}$ 对任意的 $m \in \mathbb{N}^{*}$ 都成立，而这意味着 $\displaystyle \frac{p}{q}$ 是无限循环小数。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：简化问题，假设p和q互质
不妨设(p,q)=1，即p和q互质，因为约分不影响小数类型。
提示：互质假设简化了分析。
步骤 2/5
目标：情况1：q只含2和5的素因子
若q的素因子只有2和5，则存在k使得q|10^k，从而10^k * p/q是整数，即p/q是有限小数。
公式：q | 10^k
提示：有限小数对应分母为2^a5^b。
步骤 3/5
目标：情况2：q含有其他素因子
否则，将q分解为q1*q2，其中q1|10^k，q2与10互质且q2>1。
公式：q = q1 * q2, (q2,10)=1
提示：q2不含2和5因子。
步骤 4/5
目标：应用欧拉定理
由欧拉定理，10^l ≡ 1 (mod q2)，其中l=φ(q2)。
公式：10^l ≡ 1 (mod q2)
提示：欧拉定理保证存在这样的l。
步骤 5/5
目标：构造循环小数
对任意正整数m，有10^{k+ml} * p/q - 10^k * p/q是整数，说明小数部分循环，长度为l。
公式：10^{k+ml} * p/q - 10^k * p/q ∈ ℕ*
提示：差值整数意味着循环。
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