山东大学 2023年强基第3题
📝 题目
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 2 S_{n}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，求 $a_{50}$ 。
💡 答案解析
【解析】条件等价于 $2 S_{n} a_{n}=a_{n}^{2}+1 \Rightarrow 2 S_{n}\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=\left(S_{n}-S_{n-1}\right)^{2}+1 \Rightarrow S_{n}^{2}=S_{n-1}^{2}+1$ ，易知 $S_{1}^{2}=1 \Rightarrow S_{n}^{2}=n$ ，故 $a_{50}=S_{50}-S_{49}= \pm 5 \sqrt{2} \pm 7$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将条件转化为关于前n项和S_n的递推关系
由2S_n = a_n + 1/a_n，两边乘以a_n得2S_n a_n = a_n^2 + 1。代入a_n = S_n - S_{n-1}，得2S_n(S_n - S_{n-1}) = (S_n - S_{n-1})^2 + 1。
公式：2S_n a_n = a_n^2 + 1
提示：注意a_n = S_n - S_{n-1}，且S_0 = 0。
步骤 2/4
目标：化简得到S_n^2的递推关系
展开并整理：2S_n^2 - 2S_n S_{n-1} = S_n^2 - 2S_n S_{n-1} + S_{n-1}^2 + 1，化简得S_n^2 = S_{n-1}^2 + 1。
公式：S_n^2 = S_{n-1}^2 + 1
提示：移项时注意符号。
步骤 3/4
目标：求S_n^2的通项
由S_n^2 = S_{n-1}^2 + 1，知{S_n^2}是公差为1的等差数列。又n=1时，2S_1 = a_1 + 1/a_1，且a_1 = S_1，解得S_1^2 = 1。故S_n^2 = 1 + (n-1)*1 = n。
公式：S_n^2 = n
提示：注意S_1 = a_1，解方程得S_1 = ±1，但平方后为1。
步骤 4/4
目标：求a_50
由S_n^2 = n得S_n = ±√n。a_50 = S_50 - S_49 = ±√50 ∓ √49 = ±5√2 ∓ 7。注意符号独立，故a_50 = 5√2 - 7, 5√2 + 7, -5√2 - 7, -5√2 + 7。
公式：a_n = S_n - S_{n-1}
提示：S_n和S_{n-1}的符号可以不同，需考虑所有组合。
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