山东大学 2023年强基第5题
📝 题目
$\triangle A B C$ 中，$a, b, c$ 成等比数列，求 $\displaystyle \frac{\sin A \cot C+\cos A}{\cot C \sin B+\cos B}$ 的范围。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \frac{\sin A \cot C+\cos A}{\cot C \sin B+\cos B}=\frac{\sin A \cos C+\cos A \sin C}{\cos C \sin B+\cos B \sin C}=\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}$ ，若将这个值记为 $k$ ，当 $k\gt 1$时， $\displaystyle 1+k\gt k^{2} \Rightarrow k\lt \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ；当 $k\lt 1$ 时，$\displaystyle k+k^{2}\gt 1 \Rightarrow k\gt \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。综上范围为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简表达式
将cotC化为cosC/sinC，通分后分子分母分别合并，利用正弦和角公式化简。
公式：cotC = cosC/sinC
提示：注意分子分母同时乘以sinC
步骤 2/6
目标：利用正弦定理
化简后得到sinB/sinA，由正弦定理得sinB/sinA = b/a。
公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
提示：正弦定理将边角互化
步骤 3/6
目标：设比值为k
设k = b/a，由a,b,c成等比数列得b^2=ac，即c = b^2/a = k^2 a。
公式：b^2 = ac
提示：等比数列条件转化为边的关系
步骤 4/6
目标：利用三角形三边关系
三角形两边之和大于第三边：a+b>c, a+c>b, b+c>a。代入a, b=ka, c=k^2 a，约去a>0。
公式：三角形不等式
提示：注意a>0，不等式方向不变
步骤 5/6
目标：解不等式组
由a+b>c得1+k>k^2，解得k<(1+√5)/2；由a+c>b得1+k^2>k恒成立；由b+c>a得k+k^2>1，解得k>(√5-1)/2。
公式：二次不等式求解
提示：注意k>0
步骤 6/6
目标：得出范围
综合得k的取值范围为((√5-1)/2, (1+√5)/2)。
提示：区间端点不能取等
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