山东大学 2022年强基第1题

【解析】（1）记：$f(x+y)=f(x)+f(y)$ $$ \begin{equation*} f(x y)=f(x) f(y) \tag{1} \end{equation*} $$ （1）中取 $x=0$ ，有 $f(y)=f(0)+f(y) \Rightarrow f(0)=0$ ； （2）取 $(x, y)=(x, 1)$ ，得 $f(x)=f(1) f(x)$ ，额外取 $x=1 \Rightarrow f(1)=0$ 或 1 ； 若 $f(1)=0$ ，则 $f(y)=0, f(y)=0, \forall y \in R$ ，即有 $f \equiv 0$ ，除此外 $f(1)=1$ ． （2）$\forall n \in Z, f(n x)=n f(x), x \in R$ ，（由（1）与归纳法），特别地，对 $x=1$ ，有 $f(n)=n$ ． （3）$\displaystyle \forall \frac{p}{q} \in Q, p, q \in Z, q \neq 0$ ．利用（2）有 $\displaystyle f(p)=q f\left(\frac{p}{q}\right) \Rightarrow f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q}$ ． （4）考虑 $\forall x>0, f(x)=(f \sqrt{x})^{2} \geq 0$ ，则 $\forall x \geq y, f(x)=f(y)+f(x-y) \geq f(y)$现在 $\forall x \in R$ ，选取 $x_{\mathrm{n}}$ 为 $x$ 的小数保留至前 $n$ 位所得的有理数． $y_{\mathrm{n}}=x_{\mathrm{n}}+10^{-n}$ ．则 $x \in\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，（取 $x_{\mathrm{n}} \uparrow, x$ 与 $y_{\mathrm{n}} \downarrow, y$ 亦可）． 故 $f\left(x_{\mathrm{n}}\right) \leq f(x) \leq f\left(y_{\mathrm{n}}\right)$ ．$\forall n$ ．令 $n \rightarrow \infty$ 知 $f(x)=x$ 。