山东大学 2022年强基第2题
📝 题目
已知两直线 $l_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, l_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ $a, b, c$ 满足何种参数关系时 （1）两直线平行、重合、相交； （2）对于该二元一次方程组，存在无穷多解？无解？唯一解？ （3）若为三直线构成三元一次方程组，则何种参数关系，满足平行？重合？相交？
💡 答案解析
【解析】（1）平行 $\Leftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0$ ，且 $a_{1} c_{2}-a_{2} c_{1} \neq 0$ 或 $b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1} \neq 0$ ； 重合 $\Leftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0$ ，且 $a_{1} c_{2}-a_{2} c_{1}=0$ 且 $b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}=0$ ； 相交 $\Leftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0$ ． （2）无穷多解⇔ 重合情况； 无解 ⇔ 平行； 唯一解 ⇔ 相交。 （3）题意不清，若淡化三直线中两者的关系，仅需依照上面讨论给出： （1）全重合； （2）有两条平行，另一条与其中一条重合； （3）两两平行，．．．．．．（情况疑似过多，应非题目本意）。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断两直线位置关系的条件
两直线平行时，方向向量共线，即法向量共线，故系数成比例：a1b2-a2b1=0，但常数项不成比例，即a1c2-a2c1≠0或b1c2-b2c1≠0。
公式：a1b2 - a2b1 = 0
提示：注意平行时比例关系不包含常数项
步骤 2/5
目标：判断两直线重合的条件
两直线重合时，所有系数成比例，即a1b2-a2b1=0且a1c2-a2c1=0且b1c2-b2c1=0。
公式：a1b2 - a2b1 = 0, a1c2 - a2c1 = 0, b1c2 - b2c1 = 0
提示：三个比例同时成立
步骤 3/5
目标：判断两直线相交的条件
两直线相交时，方向向量不共线，即法向量不共线，故a1b2-a2b1≠0。
公式：a1b2 - a2b1 ≠ 0
提示：唯一解对应相交
步骤 4/5
目标：二元一次方程组解的情况与直线位置关系对应
方程组有无穷多解对应两直线重合；无解对应平行；唯一解对应相交。
提示：解的情况直接由位置关系决定
步骤 5/5
目标：三直线构成三元一次方程组的情况讨论
三直线位置关系复杂，常见情况：全重合（所有系数成比例）；两条平行且与第三条重合；两两平行等。需根据具体题目要求讨论。
提示：注意题目可能只要求简单情况
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