山东大学 2022年强基第3题

【解析】题为：$\exists k \in Z\gt 0$ ，s．$t, \forall n\gt k, 3^{n}\lt C_{2 n}^{n}\lt 4^{n}$ ． 证：注意 $\displaystyle \frac{(2 k-1)(2 k-2)}{(k-1)^{2}} \geq 4$ ． 对 $k=2 \ldots n$ 连乘有：$\displaystyle \frac{(2 \times 3) \times(4 \times 5) \times \ldots \times((2 n-1) \times(2 n-2))}{1^{2} \ldots(n-1)^{2}} \geq 4^{n-1}$ ． 左边 $\displaystyle =C_{2 n}^{n} \cdot n^{2} \cdot \frac{1}{2 n}=C_{2 n}^{n} \cdot \frac{n}{2} \geq 4^{n-1}$ 。 故只需要 $\displaystyle \frac{2 \cdot 4^{n-1}}{n}\gt 3^{n}, \forall n\gt k \Leftrightarrow 2 \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}\gt n, \forall n\gt k$ ． $\displaystyle \frac{(2 k-1)(2 k)}{k^{2}}\lt 4$, 对 $k=1 \ldots n$ 连乘即得 $C_{2 n}^{n}\lt 4^{n}, \forall n$ ． 故综合以上两点，取 $k=4$ 即可。