山东大学 2022年强基第4题
📝 题目
$\displaystyle f(x)=\frac{x\left(3 x^{2}-2\right)}{1-x^{2}}$ （1）求证：$x \in(0,1)$ 时，$f(x)$ 存在最小值； （2）$\displaystyle a, b, c \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 且 $a+b+c=1$ ，求证：$\displaystyle \frac{a}{1-3 a^{2}}+\frac{b}{1-3 b^{2}}+\frac{c}{1-3 c^{2}} \geq \frac{3}{2}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简f(x)并求导
将f(x)化为f(x)= -3x + \frac{x}{1-x^2}，求导得f'(x)= -3 + \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}。
公式：f(x) = -3x + \frac{x}{1-x^2}
提示：利用分式分解简化表达式。
步骤 2/6
目标：分析f'(x)在(0,1)的符号
令g(x)=f'(x)，则g'(x)= \frac{2x(3+x^2)}{(1-x^2)^3}>0，故g(x)递增。计算g(0)=-2<0，g(1^-)→+∞，存在唯一x0使f'(x0)=0。
公式：g'(x) = \frac{2x(3+x^2)}{(1-x^2)^3}
提示：利用单调性判断极值点存在性。
步骤 3/6
目标：证明f(x)在(0,1)存在最小值
由f'(x)先负后正，f(x)先减后增，故在x0处取得极小值，也是最小值。
提示：极值点唯一且为极小值。
步骤 4/6
目标：将不等式左边转化为f(x)形式
注意到\frac{a}{1-3a^2} = \frac{1}{3} f(\sqrt{3}a)？实际上，令t=√3 a，则\frac{a}{1-3a^2} = \frac{t/√3}{1-t^2} = \frac{1}{√3} \cdot \frac{t}{1-t^2}。但f(x)中有-3x项，需调整。
公式：\frac{a}{1-3a^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3a}{1-3a^2}
提示：尝试与f(x)形式匹配。
步骤 5/6
目标：构造辅助函数并应用最小值
设g(x)= \frac{x}{1-3x^2}，则g(x)在(0,1/2)上凸？实际上，由(1)知f(x)最小值，但需调整。考虑h(x)= \frac{x}{1-3x^2} + 3x，则h(x)= \frac{x}{1-3x^2}+3x = \frac{x(1-3x^2)+3x(1-3x^2)}{1-3x^2}？不简洁。
提示：利用第一问结论，将不等式转化为f形式。
步骤 6/6
目标：利用切线法或Jensen不等式
由于a,b,c∈(0,1/2)且和为1，考虑函数φ(x)= \frac{x}{1-3x^2}在(0,1/2)上是凸函数？求二阶导得φ''(x)>0，故为凸函数，由Jensen不等式得φ(a)+φ(b)+φ(c)≥3φ((a+b+c)/3)=3φ(1/3)=3*(1/3)/(1-3*(1/9))=1/(1-1/3)=3/2。
公式：φ''(x) = \frac{18x(1+x^2)}{(1-3x^2)^3} > 0
提示：验证凸性后直接应用Jensen不等式。
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