山东大学 2021年强基第1题
📝 题目
将与 45 互质的正整数从小到大排列，该数列的第 2021 项是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解： $45=5 \times 3 \times 3$ ，所以和 45 互素的数模 15 同余，为 $1,2,4,7,8,11,13,14$ ，所以第 2021项为 8 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分解45的质因数
将45分解为质因数：45 = 3² × 5。
公式：45 = 3² × 5
提示：注意质因数分解要彻底。
步骤 2/5
目标：确定与45互质的数的条件
与45互质的数即不被3和5整除，因此模15的余数不能是0,3,5,6,9,10,12。
公式：gcd(n,45)=1 ⇔ n mod 15 ∈ {1,2,4,7,8,11,13,14}
提示：利用欧拉函数φ(45)=24，每15个数中有8个互质。
步骤 3/5
目标：计算周期内互质数的个数
每15个连续整数中，与45互质的数有8个，即余数为1,2,4,7,8,11,13,14。
公式：每周期个数 = φ(45) = 24，但每15个数中8个。
提示：注意周期为15，不是45。
步骤 4/5
目标：确定第2021项所在的周期位置
2021 ÷ 8 = 252 余 5，所以第2021项是第253个周期中的第5个数。
公式：2021 = 252×8 + 5
提示：余数5对应周期内第5个互质数。
步骤 5/5
目标：找出第5个互质数并计算最终结果
周期内互质数从小到大：1,2,4,7,8,...，第5个是8。第253个周期起始数为252×15+1=3781，第5个为3781+7=3788？注意：周期内第5个是8，但实际数应为(252×15)+8=3780+8=3788。
公式：第n项 = (周期数-1)×15 + 周期内第k个数
提示：周期数从1开始，第1周期从1开始。
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