山东大学 2021年强基第2题
📝 题目
椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ，与椭圆有 2 个焦点的直线 1 的垂直平分线交 x 轴于 $(\mathrm{m}, 0)$ ，则 m 范围 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$m=0$ 显然可以，$m \neq 0$ 时，该问题等价于存在从（ $m, 0$ ）出发的圆和椭圆最少三个交点，即最小存在两个不一样的 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在椭圆上且到（ $\mathrm{m}, 0$ ）距离相同，$x_{1} \neq x_{2}$ ，即 $\displaystyle \frac{3}{4} x_{1}^{2}-2 m x_{1}=\frac{3}{4} x_{2}^{2}-2 m x_{2} \rightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(\frac{3}{4}\left(x_{1}+x_{2}\right)-2 m\right)=0 \rightarrow \frac{3}{4}\left(x_{1}+x_{2}\right)=2 m$ 由于 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $x_{1} \in[-2,2]$ ，故 $\displaystyle \mathrm{m} \in\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特殊情况m=0
当m=0时，直线垂直平分线过原点，显然存在满足条件的直线，因此m=0在范围内。
提示：先考虑特殊情况，简化问题。
步骤 2/6
目标：转化问题为圆与椭圆交点问题
当m≠0时，问题等价于存在以(m,0)为圆心的圆与椭圆至少有三个交点，即椭圆上存在两个不同点(x1,y1)和(x2,y2)到(m,0)距离相等，且x1≠x2。
提示：垂直平分线性质转化为距离相等。
步骤 3/6
目标：建立距离相等方程
由距离相等得：(x1-m)^2 + y1^2 = (x2-m)^2 + y2^2。代入椭圆方程y^2=1-x^2/4，化简得(3/4)x1^2 - 2m x1 = (3/4)x2^2 - 2m x2。
公式：y^2 = 1 - x^2/4
提示：利用椭圆方程消去y。
步骤 4/6
目标：化简方程得到关系式
移项得(x1-x2)[(3/4)(x1+x2) - 2m] = 0。由于x1≠x2，所以(3/4)(x1+x2) = 2m，即x1+x2 = (8m)/3。
公式：(3/4)(x1+x2) = 2m
提示：因式分解得到x1+x2与m的关系。
步骤 5/6
目标：确定x1+x2的范围
椭圆上点的横坐标范围是[-2,2]，所以x1,x2∈[-2,2]，且x1≠x2，因此x1+x2∈(-4,4)。注意端点不能同时取到，但开区间。
提示：利用椭圆定义域。
步骤 6/6
目标：求解m的范围
由x1+x2=8m/3∈(-4,4)得m∈(-3/2, 3/2)。结合m=0的情况，最终m∈(-3/2, 3/2)。
公式：m = 3(x1+x2)/8
提示：注意开区间。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。