山东大学 2021年强基第3题
📝 题目
在空间直角坐标系中，一三角形在三个平面的投影面积分别为 $3,4,5$ ，则该三角形的面积为多少？
💡 答案解析
解：不妨假设 BC 在 xy 平面上，设 A 在 xy 上投影为 D 记 $\mathrm{BD}=\mathrm{a}, ~ \mathrm{CD}=\mathrm{b}, ~ \mathrm{AD}=\mathrm{c}$ ，不妨假设 $\mathrm{ab}=10, \mathrm{ac}=6, ~ \mathrm{bc}=8$ ，则 $\displaystyle a b c=4 \sqrt{30}, a=\frac{1}{2} \sqrt{30}, b=\frac{2}{3} \sqrt{30}, c=\frac{2}{5} \sqrt{30}$ ，故不妨假设 $\displaystyle A\left(0,0, \frac{1}{2} \sqrt{30}\right), B\left(\frac{2}{3} \sqrt{30}, 0,0\right), C\left(0, \frac{2}{5} \sqrt{30}, 0\right), D(0,0,0)$ 则平面 ABC 的方程为 $\displaystyle \frac{3}{2 \sqrt{30}} x+\frac{5}{2 \sqrt{30}} y+\frac{2}{\sqrt{30}} z=1, \mathrm{D}$ 到 ABC 的距离为 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ 故由 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{15}}{5} S=5 \times \frac{2}{5} \sqrt{30} \rightarrow S=5 \sqrt{2}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立坐标系并设定投影面积关系
假设三角形ABC在xy、yz、zx平面上的投影面积分别为3、4、5。设BC在xy平面上，A在xy上的投影为D，记BD=a，CD=b，AD=c。则三角形在xy上的投影面积为ab/2=3，即ab=6；类似地，ac=8，bc=10。
公式：投影面积 = 原面积 × |cosθ|，但此处利用坐标投影关系
提示：注意投影面积与边长乘积的关系
步骤 2/5
目标：求解a、b、c的值
由ab=6，ac=8，bc=10，三式相乘得(abc)^2=480，所以abc=4√30。进而a=abc/(bc)=4√30/10=2√30/5，b=4√30/8=√30/2，c=4√30/6=2√30/3。
公式：abc = √(ab·ac·bc)
提示：注意计算顺序
步骤 3/5
目标：设定三角形顶点坐标
令D为原点(0,0,0)，则A(0,0,c)，B(b,0,0)，C(0,a,0)。代入a、b、c得：A(0,0,2√30/3)，B(√30/2,0,0)，C(0,2√30/5,0)。
公式：坐标设定
提示：确保坐标与边长对应
步骤 4/5
目标：求平面ABC的方程
设平面方程为x/b + y/a + z/c = 1，代入a、b、c得：2x/√30 + 5y/(2√30) + 3z/(2√30) = 1，化简为4x+5y+3z=2√30。
公式：截距式平面方程
提示：注意系数化简
步骤 5/5
目标：计算原三角形面积
三角形ABC的面积S满足：S = (投影面积)/|cosθ|，但更直接地，利用向量叉积。向量AB=(b,-c,0)？注意：此处用坐标计算叉积。实际计算得S=√(ab^2+ac^2+bc^2)/2 = √(6^2+8^2+10^2)/2 = √200/2 = 5√2。
公式：S = √(S_xy^2 + S_yz^2 + S_zx^2)
提示：利用投影面积平方和开方
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。