山东大学 2021年强基第6题
📝 题目
自然数集和正整数集为一一映射关系（ 0,1 ）与 $[0,1]$ 为一一映射关系。
💡 答案解析
解：（1）自然数集 0 映射到正整数集 $1, n\gt 0$ 时映射到 $2 n, n\lt 0$ 映射到 $-2 n+1$ ，为一映射。 （2）$\displaystyle \frac{1}{2}$ 映射到 $\displaystyle 0, \frac{1}{2^{n}}$ 映射到 $\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}, n\gt 1$ ， $\displaystyle \frac{1}{3}$ 映射到 $\displaystyle 1, \frac{1}{3^{n}}$ 映射到 $\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}, n\gt 1$ ，其他映射到自身，则为一一对应。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立自然数集到正整数集的一一映射
将自然数0映射到正整数1，对于n>0映射到2n，对于n<0映射到-2n+1，这样每个自然数对应唯一正整数，且每个正整数都有原像。
公式：f(0)=1, f(n)=2n (n>0), f(n)=-2n+1 (n<0)
提示：注意自然数集包含0，正整数集从1开始，通过奇偶性区分正负自然数。
步骤 2/4
目标：验证映射是双射
该映射是单射：若f(a)=f(b)，则a=b。也是满射：任意正整数m，若m=1则原像0；若m为偶数则原像m/2；若m为奇数且大于1则原像-(m-1)/2。
提示：检查每个正整数是否都有原像，且不同自然数映射结果不同。
步骤 3/4
目标：建立(0,1)到[0,1]的一一映射
将1/2映射到0，1/2^n (n>1)映射到1/2^(n-1)，1/3映射到1，1/3^n (n>1)映射到1/3^(n-1)，其余点映射到自身。
公式：f(1/2)=0, f(1/2^n)=1/2^(n-1) (n>1), f(1/3)=1, f(1/3^n)=1/3^(n-1) (n>1), f(x)=x (其他)
提示：通过可数点集的移位，将0和1这两个端点插入到开区间中。
步骤 4/4
目标：验证映射是双射
该映射是单射：不同点映射结果不同。满射：任意[0,1]中的点，若为0则原像1/2；若为1则原像1/3；若为1/2^k (k≥0)则原像1/2^(k+1)；若为1/3^k (k≥0)则原像1/3^(k+1)；其余点原像自身。
提示：注意0和1的原像分别是1/2和1/3，而1/2和1/3的原像分别是1/4和1/9，以此类推。
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